Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(1+e^{x}\right) \frac{d y}{d x}+e^{x} y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(1+e^{x})\frac{dy}{dx}+e^{x}y=0
Este é um caso de equação linear de primeira ordem homogênea. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 1+e^{x}, obtemos a forma padrão
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = 0,
onde
p(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx\Bigr) =\exp\!\bigl(\ln(1+e^{x})\bigr) =1+e^{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x), temos
(1+e^{x})\frac{dy}{dx} + e^{x}y =\frac{d}{dx}\bigl[(1+e^{x})y\bigr] =0.
Integrando em relação a x,
(1+e^{x})y = C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y = \frac{C}{1+e^{x}}.

Resposta

\displaystyle y = \frac{C}{1+e^{x}}

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