Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(y^{3}-y^{2} \operatorname{sen}(x)-x\right) d x+\left(3 x y^{2}+2 y \cos (x)\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y^{3}-y^{2}\sin(x)-x\bigr)\,dx \;+\;\bigl(3x\,y^{2}+2y\cos(x)\bigr)\,dy=0.
Isso é um problema de equação exata: vamos verificar se existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=y^{3}-y^{2}\sin(x)-x \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=3x\,y^{2}+2y\cos(x).

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =3y^{2}-2y\sin(x), \quad \frac{\partial N}{\partial x} =3y^{2}-2y\sin(x).
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar F(x,y), integramos M em relação a x:
F(x,y) =\int\bigl(y^{3}-y^{2}\sin(x)-x\bigr)\,dx =y^{3}x + y^{2}\cos(x) - \frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 4

Agora exigimos que \partial F/\partial y=N. Calculando
\frac{\partial F}{\partial y} =3y^{2}x + 2y\cos(x) + h'(y)
e igualando a 3x\,y^{2}+2y\cos(x), obtemos h'(y)=0. Logo h(y) é constante.

Passo 5

Portanto a função potencial é
F(x,y)=x\,y^{3} + y^{2}\cos(x) - \frac{x^{2}}{2},
e a solução geral da equação diferencial vem de
F(x,y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x\,y^{3} + y^{2}\cos(x) - \frac{x^{2}}{2} = C.

Exercícios relacionados