Resolva as seguintes equações diferenciais.
\left(1+x^{2}\right) d y-x y d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+x^{2})\,dy - x\,y\,dx = 0
e pede sua solução geral. Esse tipo de equação é separável, pois podemos reescrevê-la na forma dy/y = \text{(função de }x)\,dxçã. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo a equação em diferencial e separando as variáveis y e x:
(1+x^{2})\,dy = x\,y\,dx
Divide ambos os lados por y e por (1+x^{2}), obtendo
\frac{dy}{y} = \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
O lado esquerdo é
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert,
e o direito, com a substituição u=1+x^{2}, du=2x\,dx, dá
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
Logo
\ln\lvert y\rvert = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados, obtemos
\lvert y\rvert = e^{C}\,\sqrt{1+x^{2}}.
Definindo C_{1}= \pm e^{C} como constante arbitrária não nula, a solução geral fica
y = C_{1}\,\sqrt{1+x^{2}},
com C_{1}\in\mathbb{R}.

Resposta

y = C\,\sqrt{1+x^{2}},\quad C\in\mathbb{R}.

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