Resolva as seguintes equações diferenciais.
x^{\prime}=x^{2} t

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dx}{dt} = x^{2}\,t.
Este tipo de equação é separável, ou seja, podemos colocar todos os termos com x de um lado e os termos com t do outro, para depois integrar cada lado.

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação de forma a separar variáveis:
\frac{dx}{dt} = x^{2}\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x^{2}} = t\,dt.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int t\,dt.
No lado esquerdo vale
\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x},
enquanto no direito
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados e isolando x, temos
-\,\frac{1}{x} = \frac{t^{2}}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad x(t) = -\frac{1}{\tfrac{t^{2}}{2} + C}.
Para simplificar, às vezes definimos C_{1}=2C, obtendo a forma alternativa
x(t) = -\,\frac{2}{t^{2} + C_{1}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial \frac{dx}{dt}=x^{2}t é
x(t) = -\frac{1}{\tfrac{t^{2}}{2} + C},
onde C é uma constante arbitrária.

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