Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(x+x y^{2}\right) d x+\left(1+x^{2}\right)^{3} d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\bigl(x + x\,y^{2}\bigr)\,dx + \bigl(1 + x^{2}\bigr)^{3}\,dy = 0
Podemos tratar essa equação como de variáveis separáveis, isto é, colocar numa forma dy/dx = f(x)\,g(y).

Passo 2

Dividindo por dx e isolando dy/dx, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{x\,(1 + y^{2})}{(1 + x^{2})^{3}}.
Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{dy}{1 + y^{2}} \;=\; -\,\frac{x\,dx}{(1 + x^{2})^{3}}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
À esquerda,
\int \frac{dy}{1 + y^{2}} = \arctan y.
À direita,
- \int \frac{x\,dx}{(1 + x^{2})^{3}}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{x\,dx}{(1 + x^{2})^{3}},
fazemos u = 1 + x^{2}, du = 2x\,dx, portanto x\,dx = \tfrac12\,du. Assim,
- \int \frac{x\,dx}{(1 + x^{2})^{3}} = -\,\frac12 \int u^{-3}\,du = -\,\frac12 \bigl(-\tfrac12\,u^{-2}\bigr) = \frac{1}{4}\,u^{-2} = \frac{1}{4\,(1 + x^{2})^{2}}.
Logo a solução implícita fica
\arctan y = \frac{1}{4\,(1 + x^{2})^{2}} + C,
com C constante de integração.

Resposta

\arctan y = \frac{1}{4\,(1 + x^{2})^{2}} + C.

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