Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(y+x^{2} y^{4}\right) d x+3 x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y + x^{2}y^{4}\bigr)\,dx + 3x\,dy = 0
e pede sua solução geral. Este é um caso de equação de Bernoulli quando escrevemos em forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.

Passo 2

Isolando dy/dx, dividimos tudo por dx e reorganizamos:
3x\,\frac{dy}{dx} = -\bigl(y + x^{2}y^{4}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{3x}\;-\;\frac{x\,y^{4}}{3}.
Logo, em forma padrão,
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3x}\,y = -\frac{x}{3}\,y^{4},
que é uma equação de Bernoulli com P(x)=\tfrac{1}{3x}, Q(x)=-\tfrac{x}{3} e n=4.

Passo 3

Para resolver usamos a troca
v = y^{1-n} = y^{-3}.
Na técnica de Bernoulli isso leva à equação linear em v:
\frac{dv}{dx} + (1-n)\,P(x)\,v = (1-n)\,Q(x).
Aqui 1-n=-3, então
\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x}\,v = x.

Passo 4

Resolver a linear \tfrac{dv}{dx} - \tfrac{1}{x}v = x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = x^{-1}.
Multiplicando a equação por \mu obtemos
\frac{1}{x}\,\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x^{2}}\,v = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{v}{x}\Bigr) = 1.
Integrando,
\frac{v}{x} = x + C \quad\Longrightarrow\quad v = x^{2} + C\,x.

Passo 5

Voltando a y, lembrando que v=y^{-3}, temos
y^{-3} = x^{2} + C\,x.
Isolando y,
y = \bigl(x^{2} + C\,x\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Resposta

A solução geral da equação é
y^{-3} = x^{2} + C\,x,
ou equivalentemente
y = \bigl(x^{2} + C\,x\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

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