Resolva as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas, explicitamente y=f(x).
x^2 y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0 para x>0.

Passo 1

Temos a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y'' + 4x,y' + 2y = 0, x>0
Para resolver, vamos usar a técnica de tentar uma solução do tipo y=x^m.

Passo 2

Assumindo y=x^m, obtemos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + 4xl[mx^m-1r] + 2x^m = x^ml[m(m-1)+4m+2r]=0
Logo a equação característica é
m(m-1) + 4m + 2 = 0

Passo 3

Simplificando a característica:
m^2 - m + 4m + 2 = m^2 + 3m + 2 = 0,
cuja solução é
m = -1, m = -2

Passo 4

Como as raízes m1=-1 e m2=-2 são reais e distintas, a solução geral tem a forma
y = C1,x^m1 + C2,x^m2

Resposta

y = C1,x^-1 + C2,x^-2

Exercícios relacionados