Resolva as seguintes equações diferenciais lineares homogêneas, explicitamente y=f(x).
x^2 y^prime prime-4 x y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^2y''-4x,y'+4y=0
procurando uma solução da forma y=f(x). Para isso, vamos usar o método de tentar uma solução do tipo potência y=x^r, típico de equações com coeficientes proporcionais a potências de x.

Passo 2

Assumimos
y = x^r
Então
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2

Passo 3

Substituindo em
x^2y'' -4x,y' +4y=0 temos
x^2l[r(r-1)x^r-2r] -4xl[r,x^r-1r] +4l[x^rr] =0
Fatorando x^r (que é não nulo para xneq0), obtemos a equação característica
r(r-1)-4r+4=0 Longrightarrow r^2-5r+4=0

Passo 4

Resolvendo
r^2-5r+4=0 Longrightarrow (r-1)(r-4)=0
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r1=1 e r2=4. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y = C1,x^r1 + C2,x^r2 = C1,x + C2,x^4,
válida em qualquer intervalo onde xneq0.

Resposta

y(x) = C1,x + C2,x^4,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

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