Resolva as seguintes equações diferenciais lineares não-homogêneas a y^prime prime+b y^prime+c y=0.
y^prime-2x y=x^2 e^x

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem não-homogênea
y' - 2x,y = x^2e^x
O conteúdo é o método do fator integrante para equações do tipo
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Identificamos P(x)=-tfrac2x. Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr) =exp!l(integral -tfrac2x,dxr) =exp(-2ln|x|) = x^-2

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2, obtendo
x^-2y' - 2x,x^-2y = x^-2,x^2e^x Longrightarrow x^-2y' - 2x^-3y = e^x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^-2y, ou seja,
ddxl(x^-2yr)=e^x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^-2y = integral e^x,dx = e^x + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente isolamos y:
y = x^2l(e^x + Cr) = x^2e^x + C,x^2

Resposta

y(x) = x^2e^x + C,x^2

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