Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de x=0.
(x^2-1) y^prime prime-6 x y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^2-1),y''-6x,y=0
por séries de potências em torno de x=0. Isso envolve assumir
y=sumn=0^inftyanx^n
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Escrevemos
y=sumn=0^inftyanx^n, y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2,x^n
Então
(x^2-1)y''=(x^2-1)sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n =sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n+2 -sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
E
-6x,y=-6sumn=0^inftyanx^n+1
Somando tudo e igualando a zero, vamos coletar os termos de x^m.

Passo 3

Reindexando para combinar potências iguais, o coeficiente de
Isso dá para casos iniciais, e para a relação geral:

Passo 4

Extraindo os casos iniciais:
  • Para m=0: -(2cdot1)a2=0 Rightarrow a2=0.
  • Para m=1: -(3cdot2)a3-6,a0=0 Rightarrow a3=-a0
E para m>=2 a recorrência de três termos:
am+2 =m(m-1)(m+2)(m+1),am -6(m+2)(m+1),am-1

Passo 5

Agora dividimos as soluções em duas séries linearmente independentes, escolhendo a0 e a1 livres. Vamos calcular alguns primeiros coeficientes de cada:
1. Série par (parte com a0):
a0 livre, a2=0, a3=-a0, a4 obtido em m=2 ;l(12a4=2a2-6a1r) ;dots
mas como queremos só a parte par, tomamos a1=0. Então
a4=0, m=3:;20a5=6a3Rightarrow a5=-310a0, m=4:;30a6=4cdot3,a4-6a3=6a0Rightarrow a6=15a0,
e assim por diante.
2. Série ímpar (parte com a1):
a1 livre, a2=0, a3=0;(pois a0=0), m=2:;12a4=-6a1Rightarrow a4=-tfrac12a1, m=3:;20a5=0Rightarrow a5=0, m=4:;30a6=12a4-6a3=-6a1Rightarrow a6=-tfrac15a1

Passo 6

As duas soluções independentes ficam, até termos de ordem seis,
y1(x)=1 - x^3 - tfrac310x^5 + tfrac15x^6 + cdots, y2(x)=x - tfrac12x^4 - tfrac15x^6 + cdots
A solução geral é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)

Resposta

y(x) =C1l(1 - x^3 - tfrac310x^5 + tfrac15x^6 + cdotsr) +C2l(x - tfrac12x^4 - tfrac15x^6 + cdotsr)

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