Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por séries de potências em torno de
. Isso envolve assumir
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Escrevemos
Então
E
Somando tudo e igualando a zero, vamos coletar os termos de
.
Passo 3
Reindexando para combinar potências iguais, o coeficiente de
Isso dá para casos iniciais, e para
a relação geral:
Passo 4
Extraindo os casos iniciais:
- Para
: . - Para
:
E para
a recorrência de três termos:
Passo 5
Agora dividimos as soluções em duas séries linearmente independentes, escolhendo
e
livres. Vamos calcular alguns primeiros coeficientes de cada:
mas como queremos só a parte par, tomamos
. Então
e assim por diante.
Passo 6
As duas soluções independentes ficam, até termos de ordem seis,
A solução geral é