Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
x y^prime-y=x^2

Passo 1

Estamos lidando com a equação diferencial x y' - y = x^2. O conteúdo envolvido aqui é o método do fator integrante para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão e encontrar o fator que nos ajudará a integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é y' + P(x) y = Q(x). Para isso, dividimos ambos os lados da equação por x (assumindo que x neq 0):
y' - yx = x
Aqui, identificamos que P(x) = -1x e Q(x) = x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -1x dx = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pela mu(x):
1x y' - 1x^2 y = 1
Isso simplifica para:
(yx)' = 1
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
yx = integral 1 dx = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por x:
y = x(x + C) = x^2 + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^2 + Cx

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