Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
Passo 1
Estamos lidando com a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui é o método do fator integrante para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão e encontrar o fator que nos ajudará a integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
(assumindo que
):
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pela
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: