Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
y^prime+2 y=e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial y' + 2y = e^-x usando o método do fator integrante. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar e encontrar a solução para y .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da nossa equação. Ela está no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, P(x) = 2 e Q(x) = e^-x .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x) ). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = 2 , temos:
mu(x) = e^integral 2 , dx = e^2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^2x y' + 2 e^2x y = e^2x e^-x
Isso simplifica para:
e^2x y' + 2 e^2x y = e^x

Passo 5

A equação agora está pronta para ser escrita como a derivada de mu(x) y :
ddx (e^2x y) = e^x
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx (e^2x y) , dx = integral e^x , dx

Passo 6

Integrando, obtemos:
e^2x y = e^x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y :
y = e^-2x (e^x + C) = e^-x + C e^-2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^-x + C e^-2x
onde C é uma constante qualquer.

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