Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando o método do fator integrante. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar e encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da nossa equação. Ela está no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
). O fator integrante é dado por:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
A equação agora está pronta para ser escrita como a derivada de
:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.