Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
y^prime+y=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + y = x $ usando o método do fator integrante. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar identificar o coeficiente que multiplica $ y $ e usar uma fórmula para encontrar o fator que vai facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = x $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo $ P(x) = 1 $:
P(x) = 1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso simplifica a equação para que o lado esquerdo seja a derivada do produto $ \mu(x) y $.

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo da equação é a derivada de $ e^{x} y $:
e^x y
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
ddx (e^x y) = e^x x

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{x} y $. Para a integral do lado direito, usamos a integração por partes:
e^x y
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:
e^x y = e^x (x - 1) + C
Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x - 1 + C e^-x

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