Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + y = x $ usando o método do fator integrante. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar identificar o coeficiente que multiplica $ y $ e usar uma fórmula para encontrar o fator que vai facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
No nosso caso, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = x $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo $ P(x) = 1 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Isso simplifica a equação para que o lado esquerdo seja a derivada do produto $ \mu(x) y $.
Passo 5
Percebemos que o lado esquerdo da equação é a derivada de $ e^{x} y $:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{x} y $. Para a integral do lado direito, usamos a integração por partes:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Então, temos:
Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: