Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + \frac{y}{x} = x^{2} e^{x} $ usando o método do fator integrante. Essa matéria faz parte das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o coeficiente de $ y $, calcular o fator integrante e então integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} e^{x} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
A integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| $, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
Simplificando:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ x y $, ou seja:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Assim:
Passo 6
Para integrar $ \int x^{3} e^{x} dx $, usamos o método de integração por partes várias vezes. Depois de realizar as integrações, obtemos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação:
Para encontrar $ y $, dividimos ambos os lados por $ x $:
Podemos simplificar os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante real.