Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
y^prime+yx=x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + \frac{y}{x} = x^{2} e^{x} $ usando o método do fator integrante. Essa matéria faz parte das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o coeficiente de $ y $, calcular o fator integrante e então integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} e^{x} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
A integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| $, então:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1x dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
mu(x) = x
Simplificando:
x cdot y' + x cdot yx = x cdot x^2 e^x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ x y $, ou seja:
x y' + y = x^3 e^x

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
Assim:
integral ddx(x y) dx = integral x^3 e^x dx

Passo 6

Para integrar $ \int x^{3} e^{x} dx $, usamos o método de integração por partes várias vezes. Depois de realizar as integrações, obtemos:
integral x^3 e^x dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
x y = e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C
Para encontrar $ y $, dividimos ambos os lados por $ x $:
y
Podemos simplificar os termos:
x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = x^2 e^x - 3x e^x + 6 e^x + Cx
onde $ C $ é uma constante real.

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