Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
x y^prime+(3 x+1) y=e^-3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
x y' + (3x + 1) y = e^-3x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para colocar na forma padrão e aplicar o fator integrante adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
y' + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos toda a equação por x :
y' + ( 3x + 1x ) y = e^-3xx
Então, identificamos:
P(x) = 3x + 1x = 3 + 1x
e
Q(x) = e^-3xx

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) :
mu(x) = e^integral ( 3 + 1x ) dx = e^3x + ln|x| = e^3x cdot |x|
Podemos simplificar removendo o valor absoluto (assumindo x > 0 ):
mu(x) = e^3x cdot x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante mu(x) :
e^3x x cdot y' + e^3x x cdot (3 + 1x) y = e^3x x cdot e^-3xx
Simplificando:
e^3x x y' + e^3x (3x + 1) y = 1
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) y :
ddx ( e^3x x y ) = 1

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^3x x y ) dx = integral 1 , dx
Isso resulta em:
e^3x x y = x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y para encontrar a solução geral:
y = x + Ce^3x x = 1e^3x + Cx e^3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1e^3x + Cx e^3x

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