Verifique que a EDO é exata e encontre uma solução que satisfaça
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, encontrar a solução que satisfaz
.
O conteúdo aqui é o de EDOs exatas: precisamos checar se
O conteúdo aqui é o de EDOs exatas: precisamos checar se
satisfazem
, e então achar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Vemos que
portanto são iguais e a equação é de fato exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
onde
é função arbitrária de
. Agora impomos
e deve ser igual a
. Logo
Assim
é a função potencial, e a solução geral implícita é
isto é
Passo 4
Usamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
logo
.
Resposta
A solução que satisfaz
fica