Verifique que a EDO é exata e encontre uma solução que satisfaça y(1)=1.
\left(2 x y-y-3 x^{2}\right) d x+\left(4 y-x+x^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(2xy - y - 3x^2\bigr)\,dx \;+\;\bigl(4y - x + x^2\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, encontrar a solução que satisfaz \,y(1)=1.
O conteúdo aqui é o de EDOs exatas: precisamos checar se
M(x,y)=2xy - y -3x^2 \quad\text{e}\quad N(x,y)=4y - x + x^2
satisfazem \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, e então achar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy - y -3x^2\bigr) =2x -1,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4y - x + x^2\bigr) =-1 +2x.
Vemos que
\frac{\partial M}{\partial y}=2x-1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=2x-1,
portanto são iguais e a equação é de fato exata.

Passo 3

Como é exata, existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M=2xy - y -3x^2.
Integramos em x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(2xy - y -3x^2\bigr)\,dx =x^2y -xy -x^3 + g(y),
onde g(y) é função arbitrária de y. Agora impomos
\phi_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y -xy -x^3 + g(y)\bigr) =x^2 - x + g'(y)
e deve ser igual a N=4y - x + x^2. Logo
x^2 - x + g'(y)=x^2 - x +4y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=4y \quad\Longrightarrow\quad g(y)=2y^2.
Assim
\varphi(x,y)=x^2y -xy -x^3 +2y^2
é a função potencial, e a solução geral implícita é
\varphi(x,y)=C,
isto é
x^2y -xy -x^3 +2y^2 = C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1,\,y=1 em \varphi= C:
1^2\cdot1 -1\cdot1 -1^3 +2\cdot1^2 =1 -1 -1 +2=1,
logo C=1.

Resposta

A solução que satisfaz y(1)=1 fica
\boxed{x^2y -xy -x^3 +2y^2 =1.}

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