Verifique que a EDO é exata e encontre uma solução que satisfaça y(1)=1.
4 x^{3} d x-3 y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
4x^{3}\,dx \;-\;3y^{2}\,dy \;=\;0
e pede para verificar que ela é exata e encontrar a solução que satisfaz y(1)=1. O conteúdo aqui é EDO exata: vamos achar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=4x^3, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-3y^2.

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^3\bigr)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3y^2\bigr)=0.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos \frac{\partial \varphi}{\partial x}=4x^3 em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int 4x^3\,dx = x^4 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

De \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-3y^2 segue
h'(y)=-3y^2 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-y^3 + C_1.
Então
\varphi(x,y)=x^4 - y^3 + C_1.
A solução geral implícita é
x^4 - y^3 = C.

Passo 5

Impondo y(1)=1, temos
1^4 - 1^3 = C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Logo a solução particular é
x^4 - y^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x^{\tfrac{4}{3}}.

Resposta

A solução que satisfaz y(1)=1 é
x^4 - y^3 = 0,
ou, explicitamente,
y = x^{\tfrac{4}{3}}.

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