Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime+y^prime-2 y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não homogênea y'' + y' - 2y = x. Vamos usar o conceito de solução complementar da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular via método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a equação homogênea associada y'' + y' - 2y = 0, montamos a equação característica
lambda^2 + lambda - 2 = 0
cuja soluções são lambda1 = 1 e lambda2 = -2. Logo, a solução complementar é
yc(x) = C1e^x + C2e^-2x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp(x), adotamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(x) = Ax + B
Calculamos as derivadas yp'(x) = A e yp''(x) = 0 e substituímos na EDO original:
0 + A - 2(Ax + B) = x
Comparando coeficientes de x e termo constante, obtemos
$$-2A = 1 \quade\quad A - 2B = 0.
-2A = 1 e A - 2B = 0
y_p(x) = -\tfrac12x - \tfrac14.
$$

Passo 4

A solução geral é a soma da complementar e da particular, ou seja
y(x) = C1e^x + C2e^-2x - tfrac12x - tfrac14

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^-2x - tfrac12x - tfrac14

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