Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não homogênea
. Vamos usar o conceito de solução complementar da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular via método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a equação homogênea associada
, montamos a equação característica
cuja soluções são
e
. Logo, a solução complementar é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
, adotamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos
Calculamos as derivadas
e
e substituímos na EDO original:
Comparando coeficientes de
e termo constante, obtemos
$$-2A = 1 \quade\quad A - 2B = 0.
y_p(x) = -\tfrac12x - \tfrac14.
$$
Passo 4
A solução geral é a soma da complementar e da particular, ou seja