Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y y^prime prime-(y^prime)^2+y^prime=0

Passo 1

Temos a EDO
y,y''-l(y'r)^2+y'=0
que não depende de x explicitamente. Vamos usar a redução de ordem definindo
p(y)=dydx, y''=dpdx=dpdy,dydx=p,dpdy

Passo 2

Substituindo na EDO:
y;l(p,dpdyr)-p^2+p=0
Longrightarrow y,p,dpdy=p^2-p

Passo 3

Fatorando em p, obtemos
pl(ydpdy-(p-1)r)=0
Logo h’a duas possibilidades:
1 ) p=0.
2 ) ydpdy=p-1 (i.e.\ pneq0).

Passo 4

Caso p=0:
dydx=0Longrightarrow y=C1,
solução constante.

Passo 5

Caso pneq0:
y,dpdy=p-1 Longrightarrow dpp-1=dyy

Passo 6

Integramos:
integraldpp-1=integraldyy Longrightarrow lnlvert p-1rvert=lnlvert yrvert+K Longrightarrow p-1=A,y,
onde A=e^K é constante. Assim
p=dydx=1+A,y

Passo 7

Esta é uma EDO linear de 1ª ordem:
dydx-A,y=1
O fator integrante é e^-A x. Multiplicando e integrando, achamos
y,e^-A x=integral e^-A x,dx +C2 = -tfrac1A,e^-A x+C2,&Aneq0, x+C2,&A=0

Passo 8

Para Aneq0, isolando y:
y=C2,e^A x+1A
No caso degenerado A=0 recuperamos
y=x+C2

Resposta

As famílias de soluções são
boxedy=C1, y=C2,e^A x+1A;(Aneq0), y=x+C2;(A=0)

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