Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
\left(1+2 e^{\frac{x}{y}}\right) d x+2 e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\bigl(1+2e^{\frac{x}{y}}\bigr)\,dx \;+\; 2e^{\frac{x}{y}}\Bigl(1-\frac{x}{y}\Bigr)\,dy \;=\;0
e pede a solução geral, indicando se ela fica em forma explícita ou implícita. Esse problema é de equação exata, pois temos uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=1+2e^{\frac{x}{y}}, \quad N(x,y)=2e^{\frac{x}{y}}\Bigl(1-\frac{x}{y}\Bigr).
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =2e^{\frac{x}{y}}\cdot\Bigl(-\frac{x}{y^2}\Bigr) =-2\,\frac{x}{y^2}\,e^{\frac{x}{y}},
\frac{\partial N}{\partial x} =2\Bigl[\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}\Bigl(1-\frac{x}{y}\Bigr) +e^{\frac{x}{y}}\Bigl(-\frac{1}{y}\Bigr)\Bigr] =-2\,\frac{x}{y^2}\,e^{\frac{x}{y}},
logo \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y)=1+2e^{\frac{x}{y}}.
Integramos em x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) =\int\bigl(1+2e^{\frac{x}{y}}\bigr)\,dx =x+2\int e^{\frac{x}{y}}\,dx =x+2y\,e^{\frac{x}{y}}+h(y).

Passo 4

Agora derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2e^{\frac{x}{y}} +2y\,e^{\frac{x}{y}}\Bigl(-\frac{x}{y^2}\Bigr) +h'(y) =2e^{\frac{x}{y}}\Bigl(1-\frac{x}{y}\Bigr)+h'(y).
Como isso deve ser igual a N(x,y)=2e^{\frac{x}{y}}(1-\tfrac{x}{y}), concluímos h'(y)=0, ou seja, h(y)=C_1.

Passo 5

A constante C_1 pode ser absorvida no lado direito. A solução geral fica dada implicitamente por
\Phi(x,y)=x+2y\,e^{\frac{x}{y}}=C.

Resposta

A solução geral é dada de forma implícita por
x+2y\,e^{\frac{x}{y}}=C.
Não se consegue isolar y em termos de x por meio de funções elementares, logo a solução permanece implícita.

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