Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
\left(2 x^{3}+4 y\right) d x+(2 x+2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial da forma
\bigl(2x^{3}+4y\bigr)\,dx + \bigl(2x+2\bigr)\,dy = 0
e dizer se a solução é explícita ou implícita. Vamos usar o método de equação exata, verificando exatidão e, se necessário, encontrando um fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Denotamos
M(x,y)=2x^{3}+4y, \quad N(x,y)=2x+2.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=4, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2.
Como 4\neq2, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x). A condição é
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{4-2}{2x+2} =\frac{2}{2(x+1)} =\frac{1}{x+1}.
Logo
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int\frac{1}{x+1}\,dx\biggr) =\exp\bigl(\ln|x+1|\bigr) =|x+1|.
Tomamos \mu(x)=x+1.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
\bigl(2x^{3}+4y\bigr)(x+1)\,dx+\bigl(2x+2\bigr)(x+1)\,dy=0.
Isto dá
\widetilde M=2x^{4}+2x^{3}+4xy+4y, \quad \widetilde N=2x^{2}+4x+2,
e agora \partial\widetilde M/\partial y=4x+4=\partial\widetilde N/\partial x,
ou seja, a equação ficou exata.

Passo 5

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x} =\widetilde M, \quad \frac{\partial\Phi}{\partial y} =\widetilde N.
Integramos \widetilde M em x:
\Phi =\int(2x^{4}+2x^{3}+4xy+4y)\,dx =\frac{2}{5}x^{5}+\frac12x^{4}+2yx^{2}+4yx+h(y).
Derivando em y e igualando a \widetilde N:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} =2x^{2}+4x+h'(y) =2x^{2}+4x+2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2 \;\Rightarrow\; h(y)=2y.
Logo a solução implícita é
\frac{2}{5}x^{5}+\frac12x^{4}+2yx^{2}+4yx+2y=C.

Passo 6

Para escrever de forma explícita, isolamos y. Note que
2yx^{2}+4yx+2y =2y(x^{2}+2x+1) =2y(x+1)^{2},
então
2y(x+1)^{2} =C-\frac{2}{5}x^{5}-\frac12x^{4} \;\Longrightarrow\; y =\frac{C-\frac{2}{5}x^{5}-\frac12x^{4}}{2(x+1)^{2}}.

Resposta

A solução geral pode ser dada de forma implícita por
\frac{2}{5}x^{5}+\frac12x^{4}+2yx^{2}+4yx+2y=C
e de forma explícita por
y =\frac{C-\tfrac{2}{5}x^{5}-\tfrac12x^{4}}{2(x+1)^{2}}.
Como conseguimos isolar y, a solução é explícita.

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