Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial da forma
e dizer se a solução é explícita ou implícita. Vamos usar o método de equação exata, verificando exatidão e, se necessário, encontrando um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Denotamos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. A condição é
Logo
Tomamos
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Isto dá
e agora
,
ou seja, a equação ficou exata.
ou seja, a equação ficou exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
:
Logo a solução implícita é
Passo 6
Para escrever de forma explícita, isolamos
. Note que
então
Resposta
A solução geral pode ser dada de forma implícita por
e de forma explícita por
Como conseguimos isolar
, a solução é explícita.