Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
\left(\frac{y}{x}+6 x\right) d x+(\ln x-2) d y=0, x>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=\frac{y}{x}+6x, \quad N(x,y)=\ln x -2,
para x>0. Vamos aplicar o critério de exatidão, achar uma função potencial F(x,y) tal que
F_x = M \quad\text{e}\quad F_y = N,
e obter a solução geral.

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\int\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx = y\ln x + 3x^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Então
F(x,y)=y\ln x +3x^2 + h(y).
Derivando em relação a y:
F_y = \ln x + h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=\ln x -2. Logo
h'(y) = -2 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -2y.

Passo 4

A função potencial completa é
F(x,y) = y\ln x +3x^2 -2y.
A solução geral implícita vem de
F(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad y\ln x -2y +3x^2 = C.
Podemos também isolar y para obter a forma explícita:
y(\ln x -2) = C - 3x^2 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{C - 3x^2}{\ln x - 2}.

Resposta

Solução implícita:
y\ln x -2y +3x^2 = C.
Como se pode isolar y, temos solução explícita
y = \frac{C - 3x^2}{\ln x - 2}.

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