Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Mostre que
é não exata. Que nesse caso não é possível determinar um fator integrante
ou
e resolver a EDO.
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
onde
O conteúdo aqui é o de equações exatas e fator integrante dependente só de
ou só de
. Vamos primeiro verificar se a equação é exata.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Comparar
e
:
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 5
Testar se existe um fator integrante
. A condição é
Calculemos o numerador:
Então
que claramente depende de
também. Logo não há
.
Passo 6
Testar se existe um fator integrante
. A condição é
Como
, temos
que depende de
. Logo não há
.
Resposta
A equação diferencial não é exata e não admite fator integrante dependente só de
nem só de
. Portanto não podemos resolvê-la por esses métodos, e a solução permaneceria apenas em forma implícita.