Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Mostre que (x \ln (y)+x y) d x+(y \ln x+x y) d y=0, x>0, y>0 é não exata. Que nesse caso não é possível determinar um fator integrante h(x) ou h(y) e resolver a EDO.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0, \quad x>0,\;y>0,
onde
M(x,y) = x\ln(y) + x\,y, \qquad N(x,y) = y\ln(x) + x\,y.
O conteúdo aqui é o de equações exatas e fator integrante dependente só de x ou só de y. Vamos primeiro verificar se a equação é exata.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de M em relação a y.
M(x,y)=x\ln(y)+x\,y \;\Longrightarrow\; \frac{\partial M}{\partial y} = x\cdot\frac{1}{y} + x = \frac{x}{y} + x.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de N em relação a x.
N(x,y)=y\ln(x)+x\,y \;\Longrightarrow\; \frac{\partial N}{\partial x} = y\cdot\frac{1}{x} + y = \frac{y}{x} + y.

Passo 4

Comparar \partial M/\partial y e \partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{x}{y} + x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{y}{x} + y.
Como \frac{x}{y}+x\neq\frac{y}{x}+y em geral, a equação não é exata.

Passo 5

Testar se existe um fator integrante h(x). A condição é
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \quad\text{depende só de \(x\)?}ó
Calculemos o numerador:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} = \Bigl(\frac{x}{y}+x\Bigr)-\Bigl(\frac{y}{x}+y\Bigr) = \frac{x}{y}-\frac{y}{x} + (x-y).
Então
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{\frac{x}{y}-\frac{y}{x} + (x-y)}{\,y\ln(x)+x\,y\,},
que claramente depende de y também. Logo não há h(x).

Passo 6

Testar se existe um fator integrante h(y). A condição é
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} \quad\text{depende só de \(y\)?}ó
Como \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=-\bigl(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+(x-y)\bigr), temos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{-\bigl(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+(x-y)\bigr)}{\,x\ln(y)+x\,y\,},
que depende de x. Logo não há h(y).

Resposta

A equação diferencial não é exata e não admite fator integrante dependente só de x nem só de y. Portanto não podemos resolvê-la por esses métodos, e a solução permaneceria apenas em forma implícita.

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