Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Resolva o PVI: x^{2} y^{\prime}-2 x y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^{2}y' - 2x\,y = 3y^{4},\quad y(1)=\tfrac32
Trata-se de uma equação de Bernoulli na forma
y' + P(x)y = Q(x)y^{n}
com n=4. Vamos usar a transformação padrão para Bernoulli.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma padrão dividindo por x^2:
y' - \frac{2}{x}\,y = \frac{3}{x^2}\,y^{4}.

Passo 3

Na equação de Bernoulli, fazemos a substituição
u = y^{1-n} = y^{-3}.
Logo
u' = -3y^{-4}\,y'.

Passo 4

Expressamos y' da equação original e substituímos em u':
y' = \frac{2}{x}y + \frac{3}{x^2}y^4 \;\;\Longrightarrow\;\; u' = -3y^{-4}\Bigl(\frac{2}{x}y + \frac{3}{x^2}y^4\Bigr) = -\frac{6}{x}u - \frac{9}{x^2}.
Isso é uma equação linear em u:
u' + \frac{6}{x}u = -\frac{9}{x^2}.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\!\int \frac{6}{x}\,dx\Bigr) = x^{6}.
Multiplicando tudo por x^6:
\frac{d}{dx}\bigl(x^6 u\bigr) = -9x^4.
Integrando, obtemos
x^6 u = \int -9x^4\,dx = -\frac{9}{5}x^5 + C \;\;\Longrightarrow\;\; u = -\frac{9}{5}\,x^{-1} + C\,x^{-6}.

Passo 5

Voltando a y, temos
y^{-3} = C\,x^{-6} - \frac{9}{5}x^{-1}.
Para determinar C, usamos y(1)=\tfrac32, ou seja y^{-3}(1) = (2/3)^3 = 8/27. Logo
\frac{8}{27} = C - \frac{9}{5} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{8}{27} + \frac{9}{5} = \frac{283}{135}.
Assim
y^{-3} = \frac{283}{135}\,x^{-6} \;-\;\frac{9}{5}\,x^{-1} = \frac{283 - 243\,x^5}{135\,x^6}.
Invertemos e elevamos a 1/3:
y^3 = \frac{135\,x^6}{283 - 243\,x^5} \quad\Longrightarrow\quad y = \Bigl(\frac{135\,x^6}{283 - 243\,x^5}\Bigr)^{\!1/3}.

Passo 6

Podemos deixar a resposta na forma explícita
y(x) = \Bigl(\frac{135\,x^6}{283 - 243\,x^5}\Bigr)^{1/3}.

Resposta

y(x) = \Bigl(\frac{135\,x^6}{283 - 243\,x^5}\Bigr)^{1/3},
solução explícita.

Exercícios relacionados