1. Um sistema óptico é composto por duas lentes delgadas, coaxiais, imersas no ar:
Lente 1: convergente, de distância focal \mathrm{f}_{1}=20 \mathrm{~cm}.
Lente 2: divergente, de distância focal \mathrm{f}_{2}=30 \mathrm{~cm}.
A distância entre as duas lentes é d =10 \mathrm{~cm}.
Um objeto real de altura \mathrm{h}=1,5 \mathrm{~cm} é colocado a 40 cm à esquerda da lente 1 (medidos a partir de seu centro).
A) Determine a distância da imagem final em relação à lente 2 , usando o formalismo de lentes delgadas em associação.
B) Calcule a ampliação total do sistema e a altura da imagem.
C) Classifique a imagem final (real ou virtual, direita ou invertida, ampliada ou reduzida).
D) Sabendo que a lente 1 tem índice de refração \mathrm{n}_{\mathrm{v}}=1,52 para a luz verde ( \lambda=550 \mathrm{~nm} ) e na =1,50 para a luz vermelha ( \lambda=700 \mathrm{~nm} ), calcule a variação aproximada de sua distância focal entre o verde e o vermelho, considerando que a lente é biconvexa com raios de curvatura R_{1}=R_{2}=10 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de duas lentes delgadas e coaxiais no ar:
– Lente 1 convergente de distância focal \mathrm{f}_1=+20,cm.
– Lente 2 divergente de distância focal \mathrm{f}_2=-30,cm.
Elas estão separadas por d=10,cm. Um objeto real de altura h=1{,}5,cm fica a 40 cm à esquerda da lente 1. Vamos usar o formalismo de lentes delgadas e a convenção de sinais em que distâncias medidas para a direita do vértice da lente são positivas.

Passo 2

Determinar a imagem pela lente 1.
Objeto para lente 1:
s_1 = -40\\ \text{cm}
(distância negativa pois está à esquerda). A equação da lente é
\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_1'} = \frac{1}{f_1}
-\frac{1}{40} + \frac{1}{s_1'} = \frac{1}{20} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{s_1'} = \frac{1}{20} + \frac{1}{40} = \frac{3}{40} \;\Longrightarrow\; s_1' = \frac{40}{3}\approx 13{,}33\\ \text{cm}.
Logo, a imagem pela lente 1 é real e está 13{,}33,cm à direita da lente 1.

Passo 3

Essa imagem serve de objeto para a lente 2. A posição relativa ao centro da lente 2 é
s_2 = -(s_1' - d) = -\bigl(13{,}33 - 10\bigr) = -3{,}33\\ \text{cm},
isto é, objeto virtual 3,33 cm à direita da lente 2. Agora aplicamos
\frac{1}{s_2} + \frac{1}{s_2'} = \frac{1}{f_2} \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{3{,}33} + \frac{1}{s_2'} = -\frac{1}{30}
\frac{1}{s_2'} = -\frac{1}{30} + \frac{1}{3{,}33} = -0{,}0333 + 0{,}3000 = 0{,}2667 \;\Longrightarrow\; s_2' = 3{,}75\\ \text{cm}.

Passo 4

Distância da imagem final em relação à lente 2 (resposta A):
s_2' = +3{,}75\\ \text{cm},
positiva para a direita, indicando imagem real 3,75 cm à direita da lente 2.

Passo 5

Calcular as ampliações individuais e total (resposta B):
Ampliação da lente 1
m_1 = -\frac{s_1'}{s_1} = -\frac{13{,}33}{-40} = 0{,}3333\quad(\text{inverter + reduzir})
Ampliação da lente 2
m_2 = -\frac{s_2'}{s_2} = -\frac{3{,}75}{-3{,}33} = 1{,}125.
Ampliação total
m = m_1\,m_2 = 0{,}3333\times1{,}125 = 0{,}375.
Altura da imagem
h' = m\,h = 0{,}375 \times 1{,}5 = 0{,}5625\\ \text{cm}.

Passo 6

Classificação da imagem final (resposta C):
– Real (porque s_2'>0).
– Direita (porque m>0, não há inversão global).
– Reduzida (porque \lvert m\rvert<1).

Passo 7

Variação da distância focal da lente 1 entre luz verde e vermelha (resposta D). Pela fórmula dos fabricantes,
\frac{1}{f} = (n-1)\Bigl(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\Bigr) =(n-1)\frac{2}{R},\quad R=10\\ \text{cm}.
Para verde, n_v=1{,}52; para vermelho, n_r=1{,}50. \Delta n = n_v - n_r = 0{,}02.
Então
\Delta\Bigl(\frac{1}{f}\Bigr)=\Delta n\;\frac{2}{R} =0{,}02\times\frac{2}{10}=0{,}004\\ \text{cm}^{-1}.
Como \Delta f\approx -f^2\,\Delta\bigl(\tfrac1f\bigr) e f\approx10,cm,
\Delta f\approx -10^2\times0{,}004 = -0{,}4\\ \text{cm}.
A distância focal para o verde fica cerca de 0{,}4,cm menor que para o vermelho.

Resposta

A) s_2'=+3{,}75,cm.
B) m=0{,}375, h'=0{,}5625,cm.
C) Imagem real, direita e reduzida.
D) \Delta f\approx -0{,}4,cm (focal para verde cerca de 0,4 cm menor).

Exercícios relacionados