Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
sujeito a condição inicial
.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação linear de primeira ordem. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante.
Passo 3
O fator integrante,
, é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente.
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo simplifica para
.
Passo 7
Para a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Então, temos:
Passo 8
Isolando
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: