Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
d yd t+y=t sujeito a condição inicial y(0)=3.

Passo 1

Então, temos a equação diferencial dydt + y = t com a condição inicial y(0) = 3. Vamos resolver essa equação linear de primeira ordem. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão dydt + P(t)y = Q(t), onde P(t) = 1 e Q(t) = t. O próximo passo é encontrar o fator integrante.

Passo 3

O fator integrante, mu(t), é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1 dt = e^t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^t dydt + e^t y = e^t t
Isso transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente.

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t)y:
ddt(e^t y) = e^t t
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a t.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddt(e^t y) dt = integral e^t t dt
A integral do lado esquerdo simplifica para e^t y.

Passo 7

Para a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes, onde:
integral t e^t dt = e^t(t - 1) + C
Então, temos:
e^t y = e^t(t - 1) + C

Passo 8

Isolando y, dividimos ambos os lados por e^t:
y = t - 1 + C e^-t

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 3 para encontrar o valor de C:
3 = 0 - 1 + C e^0 3 = -1 + C C = 4

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = t - 1 + 4 e^-t

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