Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
y^prime=t+yt-y.

Passo 1

Beleza! Temos a equação diferencial y' = t + yt - y . Vamos resolver isso passo a passo. Essa é uma equação de primeira ordem e vamos precisar usar uma substituição para simplificar e conseguir resolver. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir v = yt . Isso significa que y = v cdot t . Essa troca ajuda a transformar a equação original em algo mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, vamos derivar y = v cdot t em relação a t :
y' = v + t cdot v'
Aqui, v' representa a derivada de v em relação a t .

Passo 4

Substituímos y e y' na equação original:
v + t cdot v' = t + v cdot tt - v cdot t = 1 + v1 - v

Passo 5

Vamos isolar v' :
t cdot v' = 1 + v1 - v - v = 1 + v - v(1 - v)1 - v = 1 + v^21 - v
Então:
v' = 1 + v^2t (1 - v)

Passo 6

Essa equação está separada em termos de v e t , então podemos reorganizar para integrar:
1 - v1 + v^2 , dv = 1t , dt

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
integral 1 - v1 + v^2 , dv = integral 1t , dt

Passo 8

Vamos resolver as integrais:
Do lado esquerdo:
integral 11 + v^2 , dv - integral v1 + v^2 , dv = arctan(v) - 12 ln(1 + v^2) + C
Do lado direito:
ln|t| + C

Passo 9

Substituímos v = yt de volta na equação:
arctan(yt) - 12 ln(1 + (yt)^2) = ln|t| + C

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
arctan(yt) - 12 ln(1 + (yt)^2) = ln|t| + C

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