Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
.
Passo 1
Beleza! Temos a equação diferencial
. Vamos resolver isso passo a passo. Essa é uma equação de primeira ordem e vamos precisar usar uma substituição para simplificar e conseguir resolver. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir
. Isso significa que
. Essa troca ajuda a transformar a equação original em algo mais fácil de lidar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Vamos isolar
:
Então:
Passo 6
Essa equação está separada em termos de
e
, então podemos reorganizar para integrar:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 8
Vamos resolver as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Passo 9
Substituímos
de volta na equação:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é: