Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de
ordem
onde
. O que se pede é encontrar a solução geral
(ou uma relação implícita entre
e
) válida no domínio onde a equação faz sentido. Informações relevantes que já estão no enunciado:
- A incógnita é a função
. - A expressão
aparece dentro de uma exponencial, portanto é preciso garantir que quando utilizar manipulações que envolvam . - Também haverá divisões por
durante o processo, então convém considerar enquanto dividimos por . Depois tratamos essas possíveis exceções.
Passo 2
Observação útil (motivação da substituição): a presença de
dentro de
sugere tentar uma substituição que torne essa combinação uma única variável. Fazemos a substituição
Essa escolha costuma simplificar equações nas quais aparece
em funções complicadas. Vamos expressar
e
em termos de
e
.
Passo 3
Expressar
e
via
. Como
, temos
Derivando ambos os lados em relação a
(produtos e quocientes), usando a regra do quociente ou produto, obtemos
Multiplicando por
(pois a equação tem
), obtemos
Passo 4
Substituir
,
e
na equação original. A equação original é
Substituindo
e
e
, obtemos
As parcelas
cancelam, sobrando
Isolando
obtemos
Dividindo por
(aqui assumimos
) dá
ou seja
Essa equação é separável.
Passo 5
Separar variáveis e integrar. Escrevemos
A integral do lado direito é simples:
No lado esquerdo temos a integral
Para calcular essa integral, usamos uma integração por partes conveniente. Façamos
Tomando
e
dá
e
. Aplicando integração por partes:
O integrando restante
não se expressa em termos de funções elementares; ele define a função integral exponencial. Usamos a definição conhecida:
onde
é a função integral exponencial (observação: a derivada
). Assim concluímos
Passo 6
Combinar as integrais. Igualando as duas integrais (lado esquerdo e direito) obtemos
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo
e
). Agora substituímos de volta
. Note que
Portanto uma forma implícita conveniente da solução geral é
Podemos rearranjar trocando de sinal e renomeando a constante
se preferir:
Passo 7
Comentários finais sobre domínio e casos especiais. A solução implícita acima foi obtida assumindo
(para que
esteja bem definido) e
(para dividir por
). Se precisar de soluções em pontos isolados como
deve-se voltar à equação original e analisar limites/possíveis extensões, mas a forma geral para
é a dada. A função
é a função integral exponencial padrão; em provas é aceitável apresentar a solução em termos de
quando aparece
.