Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
x y^{\prime}-y+x e^{x / y}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de 1^{\text{a}} ordem
x\,y' - y + x e^{x/y} = 0,
onde y'=dy/dx. O que se pede é encontrar a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) válida no domínio onde a equação faz sentido. Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A expressão x/y aparece dentro de uma exponencial, portanto é preciso garantir que y\neq 0 quando utilizar manipulações que envolvam x/y.
  • Também haverá divisões por x durante o processo, então convém considerar x\neq 0 enquanto dividimos por x. Depois tratamos essas possíveis exceções.

Passo 2

Observação útil (motivação da substituição): a presença de x/y dentro de e^{x/y} sugere tentar uma substituição que torne essa combinação uma única variável. Fazemos a substituição
v=\frac{x}{y}.
Essa escolha costuma simplificar equações nas quais aparece x/y em funções complicadas. Vamos expressar y e y' em termos de v e dv/dx.

Passo 3

Expressar y e y' via v. Como v=x/y, temos
y=\frac{x}{v}.
Derivando ambos os lados em relação a x (produtos e quocientes), usando a regra do quociente ou produto, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{v}\right)=\frac{v\cdot 1 - x\cdot \dfrac{dv}{dx}}{v^{2}}=\frac{v - x\,\dfrac{dv}{dx}}{v^{2}}.
Multiplicando por x (pois a equação tem x y'), obtemos
x\frac{dy}{dx}=\frac{x}{v}-\frac{x^{2}}{v^{2}}\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituir y, x y' e x/y=v na equação original. A equação original é
x\frac{dy}{dx}-y + x e^{x/y}=0.
Substituindo x\frac{dy}{dx}=\dfrac{x}{v}-\dfrac{x^{2}}{v^{2}}\dfrac{dv}{dx} e y=\dfrac{x}{v} e x/y=v, obtemos
\left(\frac{x}{v}-\frac{x^{2}}{v^{2}}\frac{dv}{dx}\right)-\frac{x}{v}+x e^{v}=0.
As parcelas \dfrac{x}{v} cancelam, sobrando
-\frac{x^{2}}{v^{2}}\frac{dv}{dx}+x e^{v}=0.
Isolando \dfrac{dv}{dx} obtemos
\frac{x^{2}}{v^{2}}\frac{dv}{dx}=x e^{v}.
Dividindo por x (aqui assumimos x\neq 0) dá
\frac{x}{v^{2}}\frac{dv}{dx}=e^{v},
ou seja
\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2} e^{v}}{x}.
Essa equação é separável.

Passo 5

Separar variáveis e integrar. Escrevemos
\frac{dv}{v^{2} e^{v}}=\frac{dx}{x}.
A integral do lado direito é simples:
\int \frac{dx}{x}=\ln|x| + C_{1}.
No lado esquerdo temos a integral
\int \frac{dv}{v^{2} e^{v}}=\int e^{-v} v^{-2}\,dv.
Para calcular essa integral, usamos uma integração por partes conveniente. Façamos
\int e^{-v} v^{-2}\,dv.
Tomando p=e^{-v} e q' = v^{-2} p'=-e^{-v} e q=-v^{-1}. Aplicando integração por partes:
\int e^{-v} v^{-2}\,dv = p q - \int p' q \,dv = -\frac{e^{-v}}{v} - \int \frac{e^{-v}}{v}\,dv.
O integrando restante \int \dfrac{e^{-v}}{v}\,dv não se expressa em termos de funções elementares; ele define a função integral exponencial. Usamos a definição conhecida:
\int \frac{e^{-v}}{v}\,dv = \operatorname{Ei}(-v) + C_{2},
onde \operatorname{Ei} é a função integral exponencial (observação: a derivada \dfrac{d}{dv}\operatorname{Ei}(-v)=\dfrac{e^{-v}}{v}). Assim concluímos
\int e^{-v} v^{-2}\,dv = -\frac{e^{-v}}{v} - \operatorname{Ei}(-v) + C_{2}.

Passo 6

Combinar as integrais. Igualando as duas integrais (lado esquerdo e direito) obtemos
-\frac{e^{-v}}{v} - \operatorname{Ei}(-v) = \ln|x| + C,
onde C é uma constante arbitrária (absorvendo C_{1} e C_{2}). Agora substituímos de volta v=\dfrac{x}{y}. Note que
\frac{e^{-v}}{v}=\frac{e^{-x/y}}{x/y}=\frac{y}{x}e^{-x/y}.
Portanto uma forma implícita conveniente da solução geral é
-\frac{y}{x}e^{-x/y}-\operatorname{Ei}\!\left(-\frac{x}{y}\right)=\ln|x|+C.
Podemos rearranjar trocando de sinal e renomeando a constante C se preferir:
\frac{y}{x}e^{-x/y}+\operatorname{Ei}\!\left(-\frac{x}{y}\right)=-\ln|x|+C.

Passo 7

Comentários finais sobre domínio e casos especiais. A solução implícita acima foi obtida assumindo y\neq 0 (para que v=x/y esteja bem definido) e x\neq 0 (para dividir por x). Se precisar de soluções em pontos isolados como x=0 deve-se voltar à equação original e analisar limites/possíveis extensões, mas a forma geral para x\neq 0 é a dada. A função \operatorname{Ei} é a função integral exponencial padrão; em provas é aceitável apresentar a solução em termos de \operatorname{Ei} quando aparece \int e^{-v}/v\,dv.

Resposta

-\dfrac{y}{x}e^{-x/y}-\operatorname{Ei}\!\left(-\dfrac{x}{y}\right)=\ln|x|+C

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