Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
3 x^{2} y^{\prime}=2 y(y-3)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
3x^{2}y' = 2y(y-3).
Informações dadas e o que se pede:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada denotada por y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • Deve-se encontrar a solução geral (ou soluções particulares constantes, se existirem) para y(x).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: escrever a derivada explicitamente como razão de diferenciais. Dividindo por 3x^{2} (assumindo momentaneamente x\neq 0) obtemos
y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{y(y-3)}{x^{2}}.
Agora observe que a variável y aparece apenas no numerador do lado direito e x apenas no denominador; isso indica que podemos separar as variáveis (isto é, colocar todos os termos com y em um lado e os com x no outro). Vou fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Separando variáveis: passar os fatores envolvendo y para o lado esquerdo e os envolvendo x para o lado direito:
\dfrac{dy}{y(y-3)}=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{dx}{x^{2}}.
Explicando a ideia de separação de variáveis (aula curta): quando uma equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y), podemos reescrever como \dfrac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx e integrar ambos os lados. Isso transforma a equação diferencial em uma integral de y igual a uma integral de x.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo exige decomposição em frações parciais porque temos uma razão racional em y. Fazemos
\dfrac{1}{y(y-3)}=\dfrac{A}{y}+\dfrac{B}{y-3}.
Para encontrar A e B, igualamos:
1 = A(y-3)+By = (A+B)y -3A.
Comparando coeficientes obtemos o sistema
A+B=0,\qquad -3A=1.
Daí A=-\dfrac{1}{3} e B=\dfrac{1}{3}. Logo
\dfrac{1}{y(y-3)}=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{y-3}.
Substituindo na integral e integrando:
\int\left(-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{y-3}\right)dy = \int \dfrac{2}{3}\,x^{-2}dx.

Passo 5

Calcule as integrais explicitamente (vou mostrar cada termo):
  • Lado esquerdo:
\int\left(-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{y-3}\right)dy = -\dfrac{1}{3}\ln|y|+\dfrac{1}{3}\ln|y-3| = \dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{y-3}{y}\right|.
  • Lado direito:
\int \dfrac{2}{3}x^{-2}dx = \dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)+C = -\dfrac{2}{3x}+C,
onde C é constante de integração.
Portanto temos a igualdade
\dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{y-3}{y}\right| = -\dfrac{2}{3x}+C.

Passo 6

Multiplicando por 3 e exponenciando para isolar y:
\ln\left|\dfrac{y-3}{y}\right| = -\dfrac{2}{x} + C_1,
onde C_1=3C. Exponenciando:
\left|\dfrac{y-3}{y}\right| = e^{C_1}e^{-2/x}.
Escrevendo K=e^{C_1} (constante positiva) e permitindo uma constante arbitrária C real não nula para absorver o sinal, obtemos a forma sem valor absoluto:
\dfrac{y-3}{y} = C e^{-2/x},
com C sendo uma constante arbitrária (real). Agora resolvemos algebricamente para y:
y-3 = y C e^{-2/x}\quad\Rightarrow\quad y(1 - C e^{-2/x}) = 3.
Então, para 1 - C e^{-2/x}\neq 0,
y(x) = \dfrac{3}{1 - C e^{-2/x}}.

Passo 7

Não esquecer soluções constantes que foram excluídas na separação (porque divisões por y ou y-3 foram feitas): verificar y\equiv 0 e y\equiv 3.
  • Substituindo y\equiv 0 na equação original: 3x^{2}\cdot 0' = 0 e 2\cdot 0\cdot(0-3)=0. Logo y\equiv 0 é solução.
  • Substituindo y\equiv 3: 3x^{2}\cdot 0 = 0 e 2\cdot 3\cdot 0=0. Logo y\equiv 3 é solução. Note que y\equiv 3 também aparece na família geral tomando C=0.
Também observar que a equação original envolve x^{2} no denominador ao isolar y', então soluções são consideradas em intervalos onde x\neq 0. A expressão com e^{-2/x} também exige x\neq 0.

Resposta

y(x)=\dfrac{3}{1 - C e^{-2/x}},\qquad C\in\mathbb{R},\; x\neq 0
y(x)\equiv 0

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