Resolva as seguintes equações diferenciais:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é
. - A equação relaciona a segunda derivada
com a primeira derivada apenas; não aparece nem explicitamente do lado direito. - O objetivo é encontrar a solução geral
(ou uma representação aceitável da família de soluções), envolvendo duas constantes de integração.
Passo 2
Idéia para reduzir a ordem (explicação didática): quando a equação tem a forma
, isto é, a derivada segunda é função apenas de
, é muito conveniente fazer a substituição
Isso transforma a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para
. Além disso, note que
Aplicando isso na equação original obtemos uma equação para
:
Agora temos uma equação de primeira ordem onde as variáveis são separáveis — vou explicar o que isso significa e como integrar.
Passo 3
Separação de variáveis e integração (aula rápida): uma equação do tipo
permite escrever
e integrar os dois lados. No nosso caso
, então
Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
Calcule a integral no lado esquerdo passo a passo:
No lado direito
. Incluímos uma constante de integração
. Logo obtemos a relação implícita
Isto nos dá
como função de
(ou uma equação implícita para
em termos de
). Aqui
é uma das constantes da família geral de soluções.
Passo 4
Recuperando
a partir de
: lembrando que
, queremos agora integrar para obter
. Uma forma prática é usar
como função de
(obtida no passo anterior) e substituir
em termos de
. Como tínhamos
, então
Agora escrevemos
Integrando em
:
Calcule as primitivas:
Logo
onde
é a segunda constante de integração. Aqui foi usada a técnica de mudança de variável na integração (integramos em
usando
) — é prático sempre que se tem
dado em função de
.
Passo 5
Escrevendo a solução de forma clara e interpretando: juntando os resultados temos a solução geral em forma paramétrica (o parâmetro é
, que representa
):
com
um parâmetro real e
constantes arbitrárias. Essa é a expressão mais simples e explícita que podemos dar: eliminar
para obter
explicitamente em função de
requer resolver um polinômio cúbico para
em termos de
, o que não leva a uma expressão simples e única em termos elementares. Portanto a forma paramétrica acima é perfeitamente aceitável como solução geral.
Passo 6
Verificação breve (como checar na prova): podemos verificar que essa família funciona. Diferenciando as expressões paramétricas em relação a
:
Logo
ou seja
como definimos. Diferenciando de novo em relação a
(usando
) obtemos
que coincide exatamente com a equação original. Pronto — solução conferida.
Passo 7
Comentário final e incentivo: a estratégia chave foi perceber que a equação depende só de
, então a substituição
reduz a ordem e torna as variáveis separáveis — técnica muito útil em provas. Você conseguiu: com duas integrações simples obteve-se a solução geral em forma paramétrica. Se quiser, posso mostrar como tratar o caso inicial com condições
e
para determinar
.
Resposta
com
parâmetro (igual a
) e
constantes arbitrárias.