Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y''=\frac{1}{1+\left(y'\right)^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é y=y(x).
  • A equação relaciona a segunda derivada y'' com a primeira derivada y' apenas; não aparece x nem y explicitamente do lado direito.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma representação aceitável da família de soluções), envolvendo duas constantes de integração.

Passo 2

Idéia para reduzir a ordem (explicação didática): quando a equação tem a forma y''=F(y'), isto é, a derivada segunda é função apenas de y', é muito conveniente fazer a substituição
p(x)=y'(x).
Isso transforma a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para p. Além disso, note que
y''=\frac{dp}{dx}.
Aplicando isso na equação original obtemos uma equação para p:
\frac{dp}{dx}=\frac{1}{1+p^{2}}.
Agora temos uma equação de primeira ordem onde as variáveis são separáveis — vou explicar o que isso significa e como integrar.

Passo 3

Separação de variáveis e integração (aula rápida): uma equação do tipo \dfrac{dp}{dx}=g(p) permite escrever \dfrac{1}{g(p)}\,dp=dx e integrar os dois lados. No nosso caso g(p)=\dfrac{1}{1+p^{2}}, então
\frac{dp}{dx}=\frac{1}{1+p^{2}}\quad\Longrightarrow\quad (1+p^{2})\,dp=dx.
Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int(1+p^{2})\,dp=\int dx.
Calcule a integral no lado esquerdo passo a passo:
\int(1+p^{2})\,dp=\int 1\,dp + \int p^{2}\,dp = p + \frac{p^{3}}{3}.
No lado direito \int dx = x. Incluímos uma constante de integração C_{1}. Logo obtemos a relação implícita
p+\frac{p^{3}}{3}=x + C_{1}.
Isto nos dá x como função de p (ou uma equação implícita para p em termos de x). Aqui C_{1} é uma das constantes da família geral de soluções.

Passo 4

Recuperando y a partir de p: lembrando que p=y'=\dfrac{dy}{dx}, queremos agora integrar para obter y. Uma forma prática é usar x como função de p (obtida no passo anterior) e substituir dx em termos de dp. Como tínhamos \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{1}{1+p^{2}}, então
\frac{dx}{dp}=1+p^{2}.
Agora escrevemos
dy = p\,dx = p\left(\frac{dx}{dp}\right)dp = p(1+p^{2})\,dp.
Integrando em p:
y=\int p(1+p^{2})\,dp + C_{2} = \int (p + p^{3})\,dp + C_{2}.
Calcule as primitivas:
\int p\,dp = \frac{p^{2}}{2},\qquad \int p^{3}\,dp = \frac{p^{4}}{4}.
Logo
y=\frac{p^{2}}{2}+\frac{p^{4}}{4}+C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração. Aqui foi usada a técnica de mudança de variável na integração (integramos em p usando dx/dp) — é prático sempre que se tem x dado em função de p.

Passo 5

Escrevendo a solução de forma clara e interpretando: juntando os resultados temos a solução geral em forma paramétrica (o parâmetro é p, que representa y'):
x = p + \frac{p^{3}}{3} + C_{1}, \qquad y = \frac{p^{2}}{2} + \frac{p^{4}}{4} + C_{2},
com p um parâmetro real e C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} constantes arbitrárias. Essa é a expressão mais simples e explícita que podemos dar: eliminar p para obter y explicitamente em função de x requer resolver um polinômio cúbico para p em termos de x, o que não leva a uma expressão simples e única em termos elementares. Portanto a forma paramétrica acima é perfeitamente aceitável como solução geral.

Passo 6

Verificação breve (como checar na prova): podemos verificar que essa família funciona. Diferenciando as expressões paramétricas em relação a p:
\frac{dx}{dp}=1+p^{2},\qquad \frac{dy}{dp}=p+p^{3}.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dp}}{\dfrac{dx}{dp}}=\frac{p+p^{3}}{1+p^{2}}=p,
ou seja \dfrac{dy}{dx}=p como definimos. Diferenciando de novo em relação a x (usando \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{1}{1+p^{2}}) obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx}=\frac{1}{1+p^{2}},
que coincide exatamente com a equação original. Pronto — solução conferida.

Passo 7

Comentário final e incentivo: a estratégia chave foi perceber que a equação depende só de y', então a substituição p=y' reduz a ordem e torna as variáveis separáveis — técnica muito útil em provas. Você conseguiu: com duas integrações simples obteve-se a solução geral em forma paramétrica. Se quiser, posso mostrar como tratar o caso inicial com condições y(x_{0})=y_{0} e y'(x_{0})=p_{0} para determinar C_{1},C_{2}.

Resposta

x = p + \frac{p^{3}}{3} + C_{1},\qquad y = \frac{p^{2}}{2} + \frac{p^{4}}{4} + C_{2},
com p parâmetro (igual a y') e C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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