Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=\frac{4}{x} y-12 x^{5}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{4}{x}\,y - 12\,x^{5}.
O conteúdo aqui é equação linear do tipo
y' + p(x)\,y = q(x),
e vamos precisar do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão y' + p(x)\,y = q(x). Subtraindo \tfrac{4}{x}y de ambos os lados, obtemos
y' - \frac{4}{x}\,y = -12\,x^{5}.
Aqui p(x) = -\tfrac{4}{x} e q(x) = -12\,x^{5}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\biggl(\int p(x)\,dx\biggr) = \exp\Bigl(\int -\frac{4}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-4\ln|x|\bigr) = x^{-4}.
Multiplicando a equação original por x^{-4}, vem
x^{-4}y' - \frac{4}{x}\,x^{-4}y = -12\,x^{5}\,x^{-4},
isto é,
x^{-4}y' - 4x^{-5}y = -12\,x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{-4}y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}y\bigr) = -12\,x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-4}y = \int -12\,x\,dx = -6\,x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por x^{4}:
y = x^{4}\bigl(-6\,x^{2} + C\bigr) = -6\,x^{6} + C\,x^{4}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C\,x^{4} \;-\; 6\,x^{6},
onde C é constante arbitrária.

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