Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=2 x y+3 e^{x^{2}+3 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2xy + 3e^{x^{2}+3x}.
Isso é uma equação linear no formato
y' + P(x)\,y = Q(x).
Aqui vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão:
y' - 2x\,y = 3e^{x^{2}+3x}.
Identificamos
P(x) = -2x, \quad Q(x) = 3e^{x^{2}+3x}.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -2x\,dx\Bigr) = \exp(-x^{2}) = e^{-x^{2}}.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por \mu(x) temos
e^{-x^{2}}y' \;-\;2x\,e^{-x^{2}}y = 3e^{-x^{2}}\,e^{x^{2}+3x} = 3e^{3x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,e^{-x^{2}}, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^{2}}\bigr) = 3e^{3x}.
Agora integramos ambos os lados:
y\,e^{-x^{2}} = \int 3e^{3x}\,dx = e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos
y(x) = e^{x^{2}}\bigl(e^{3x} + C\bigr) = e^{x^{2}+3x} + C\,e^{x^{2}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = e^{x^{2}+3x} + C\,e^{x^{2}},
onde C é uma constante arbitrária.

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