Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=y+\cos (x) e^{x}, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y' = y + \cos(x)e^x, \quad y(0)=2
Trata-se de uma equação linear da forma y' - y = \cos(x)e^x. Vamos usar fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Colocamos na forma padrão
y' - y = \cos(x)e^x
O fator integrante é
\mu(x) = e^{-\int 1\,dx} = e^{-x}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x), obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = \cos(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr).

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)\,dx = \int \cos(x)\,dx
Isso dá
e^{-x}y = \sin(x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y e aplicando a condição y(0)=2:
y = e^x\bigl(\sin(x)+C\bigr).
Em x=0 temos
2 = y(0) = e^0\bigl(\sin(0)+C\bigr) = C,
logo C=2.

Resposta

y(x) = e^x\bigl(\sin(x) + 2\bigr).

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