Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=\frac{3 y^{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = \frac{3y^{2}}{x}.
Este é um caso de equação separável: podemos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, integrar e depois isolar y.

Passo 2

Começamos escrevendo
\frac{dy}{dx} = \frac{3y^{2}}{x}
e separamos as variáveis:
\frac{dy}{y^{2}} = 3\,\frac{dx}{x}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int 3\,\frac{dx}{x}.
Na esquerda, \int y^{-2}dy = -y^{-1} = -\tfrac{1}{y}.
Na direita, \int 3x^{-1}dx = 3\ln|x|.
Logo obtemos
-\frac{1}{y} = 3\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo,
\frac{1}{y} = -3\ln|x| - C = C_{1} - 3\ln|x|,
onde definimos C_{1} = -C. Portanto a solução geral fica
y(x) = \frac{1}{C_{1} - 3\ln|x|}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{C_{1} - 3\ln|x|},
com C_{1} constante arbitrária.

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