Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, y(0)=8, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
y'' + y' - 2y = 0,
y(0)=8,
y'(0)=-1.
Ou seja: resolver a equação diferencial de segunda ordem homogenea com coeficientes constantes e determinar as constantes da solução usando as condições em x=0.

Passo 2

Método escolhido: procurar soluções da forma exponencial. Vou explicar por que: para equações lineares com coeficientes constantes, tentar uma solução da forma y(x)=e^{rx} costuma funcionar porque derivadas de e^{rx} produzem fatores constantes que levam a uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} na equação obtemos a chamada equação característica:
r^2 + r - 2 = 0.
Isso vem de y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}; ao dividir por e^{rx} (que nunca é zero) sobra uma equação apenas em r.

Passo 3

Resolvo a equação característica. Ela fatoriza:
r^2 + r - 2 = (r+2)(r-1) = 0,
portanto as raízes são r=1 e r=-2. Como são duas raízes reais distintas, a forma geral da solução da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. Breve comentário didático: cada raiz fornece uma solução independente e^{rx}; para uma ODE de segunda ordem precisamos de duas constantes livres.

Passo 4

Agora calculo a derivada y'(x) para poder aplicar a condição inicial sobre y'. Regra usada: \dfrac{d}{dx} e^{ax} = a e^{ax}. Aplicando:
y'(x)=C_1 e^{x} - 2 C_2 e^{-2x}.
Expliquei: o termo C_1 e^{x} deriva para C_1 e^{x} porque a constante multiplicadora é 1; o termo C_2 e^{-2x} deriva para -2 C_2 e^{-2x} por causa do fator -2.

Passo 5

Aplico as condições iniciais em x=0. Primeiro y(0)=8:
y(0)=C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 8.
Depois y'(0)=-1:
y'(0)=C_1 e^{0} - 2 C_2 e^{0} = C_1 - 2 C_2 = -1.
Formamos o sistema linear para C_1 e C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 8,\\[4pt] C_1 - 2 C_2 = -1. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema para encontrar C_1 e C_2. Subtraio a primeira equação da segunda para eliminar C_1:
(C_1 - 2 C_2) - (C_1 + C_2) = -1 - 8 \Rightarrow -3 C_2 = -9.
Logo
C_2 = 3.
Substituo em C_1 + C_2 = 8:
C_1 + 3 = 8 \Rightarrow C_1 = 5.

Passo 7

Agora escrevo a solução com as constantes obtidas:
y(x)=5 e^{x} + 3 e^{-2x}.
Faço uma checagem rápida (boa prática na prova): y(0)=5+3=8 e y'(x)=5 e^{x} -6 e^{-2x} y'(0)=5-6=-1, ou seja, as condições iniciais são satisfeitas. Também posso verificar que y''+y'-2y=0 ao calcular y'' e somar os termos, que se cancelam.

Resposta

y(x)=5e^{x}+3e^{-2x}

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