Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
Ou seja: resolver a equação diferencial de segunda ordem homogenea com coeficientes constantes e determinar as constantes da solução usando as condições em
.
Passo 2
Método escolhido: procurar soluções da forma exponencial. Vou explicar por que: para equações lineares com coeficientes constantes, tentar uma solução da forma
costuma funcionar porque derivadas de
produzem fatores constantes que levam a uma equação algébrica para
. Substituindo
na equação obtemos a chamada equação característica:
Isso vem de
e
; ao dividir por
(que nunca é zero) sobra uma equação apenas em
.
Passo 3
Resolvo a equação característica. Ela fatoriza:
portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a forma geral da solução da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. Breve comentário didático: cada raiz fornece uma solução independente
; para uma ODE de segunda ordem precisamos de duas constantes livres.
Passo 4
Agora calculo a derivada
para poder aplicar a condição inicial sobre
. Regra usada:
. Aplicando:
Expliquei: o termo
deriva para
porque a constante multiplicadora é
; o termo
deriva para
por causa do fator
.
Passo 5
Aplico as condições iniciais em
. Primeiro
:
Depois
:
Formamos o sistema linear para
e
:
Passo 6
Resolvo o sistema para encontrar
e
. Subtraio a primeira equação da segunda para eliminar
:
Logo
Substituo em
:
Passo 7
Agora escrevo a solução com as constantes obtidas:
Faço uma checagem rápida (boa prática na prova):
e
dá
, ou seja, as condições iniciais são satisfeitas. Também posso verificar que
ao calcular
e somar os termos, que se cancelam.