Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
u) \overline{\cos Z}=\cos \bar{Z}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade para todo z\in\mathbb{C}:
\overline{\cos z} = \cos \overline{z}.
Informações dadas / o que está disponível:
A variável z é um número complexo arbitrário.
A operação \overline{(\cdot)} denota conjugação complexa.
Deve ser verificada a igualdade entre a conjugada do cosseno de z e o cosseno da conjugada de z.
Passo 2
Lembrando propriedades básicas da conjugação complexa que usaremos (todas válidas para a,b\in\mathbb{C}):
\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}.
\overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b}.
\overline{\overline{a}}=a.
Para um número real r, \overline{r}=r.
Em particular, \overline{i}=-i.
Estas propriedades seguem do fato de que a conjugação é aplicada componente a componente em a=x+iy e é linear sobre soma e produto por números reais; para produto use a definição (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) e conjugue termo a termo.
Passo 3
Definição útil do cosseno complexa (fórmula exponencial): para todo z\in\mathbb{C}
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Explicação rápida dessa definição: a mesma fórmula válida para números reais é usada em \mathbb{C}; também há a definição por série de potências
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!},
que converge para todo z\in\mathbb{C}. Ambas são equivalentes e convenientemente permitem manipular conjugação.
Passo 4
Propriedade da exponencial complexa que precisamos: para todo w\in\mathbb{C}
\overline{e^{w}} = e^{\overline{w}}.
Justificativa curta e didática: escrever e^{w} pela série de potências
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!}.
Como os coeficientes 1/n! são reais, ao aplicar conjugação obtém-se