Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
u) \overline{\cos Z}=\cos \bar{Z}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade para todo z\in\mathbb{C}:
\overline{\cos z} = \cos \overline{z}.
Informações dadas / o que está disponível:
  • A variável z é um número complexo arbitrário.
  • A operação \overline{(\cdot)} denota conjugação complexa.
  • Deve ser verificada a igualdade entre a conjugada do cosseno de z e o cosseno da conjugada de z.

Passo 2

Lembrando propriedades básicas da conjugação complexa que usaremos (todas válidas para a,b\in\mathbb{C}):
  • \overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}.
  • \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b}.
  • \overline{\overline{a}}=a.
  • Para um número real r, \overline{r}=r.
  • Em particular, \overline{i}=-i.
    Estas propriedades seguem do fato de que a conjugação é aplicada componente a componente em a=x+iy e é linear sobre soma e produto por números reais; para produto use a definição (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) e conjugue termo a termo.

Passo 3

Definição útil do cosseno complexa (fórmula exponencial): para todo z\in\mathbb{C}
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Explicação rápida dessa definição: a mesma fórmula válida para números reais é usada em \mathbb{C}; também há a definição por série de potências
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!},
que converge para todo z\in\mathbb{C}. Ambas são equivalentes e convenientemente permitem manipular conjugação.

Passo 4

Propriedade da exponencial complexa que precisamos: para todo w\in\mathbb{C}
\overline{e^{w}} = e^{\overline{w}}.
Justificativa curta e didática: escrever e^{w} pela série de potências
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!}.
Como os coeficientes 1/n! são reais, ao aplicar conjugação obtém-se
\overline{e^{w}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\overline{w^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\overline{w})^n}{n!}=e^{\overline{w}}.
Também pode-se usar que a conjugação é multiplicativa e linear sobre somas, e a exponencial é a soma dessa série com coeficientes reais.

Passo 5

Agora aplicamos tudo ao lado esquerdo da identidade que queremos:
Começamos com a expressão pela fórmula exponencial:
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Tomando conjugada de ambos os lados e usando que conjugação distribui sobre soma e divisão por real:
\overline{\cos z} = \frac{\overline{e^{iz}}+\overline{e^{-iz}}}{2}.
Pelo resultado do Passo 4, \overline{e^{w}}=e^{\overline{w}}, temos
\overline{e^{iz}} = e^{\overline{iz}},\qquad \overline{e^{-iz}} = e^{\overline{-iz}}.

Passo 6

Calculemos explicitamente \overline{iz}. Usando que \overline{i}=-i e que \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b},
\overline{iz}=\overline{i}\,\overline{z}=(-i)\,\overline{z}=-i\overline{z}.
Logo
\overline{e^{iz}} = e^{\overline{iz}} = e^{-i\overline{z}}, \qquad \overline{e^{-iz}} = e^{\overline{-iz}} = e^{i\overline{z}}.

Passo 7

Substituindo essas expressões em \overline{\cos z} do Passo 5:
\overline{\cos z} = \frac{e^{-i\overline{z}}+e^{i\overline{z}}}{2}.
Reorganizando os termos (a soma é comutativa) obtemos
\overline{\cos z} = \frac{e^{i\overline{z}}+e^{-i\overline{z}}}{2}.
Mas a expressão à direita é exatamente a definição exponencial de \cos aplicada a \overline{z}, ou seja
\overline{\cos z} = \cos \overline{z}.

Resposta

\overline{\cos z}=\cos \overline{z}

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