Resolva as seguintes equações:
a) e^{z}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \,e^{z}=1\,.
Informações dadas: a incógnita z pode ser um número complexo (nenhuma restrição adicional foi dada).

Passo 2

Vamos escrever z em termos das suas partes real e imaginária: seja \,z=x+iy\,, com \,x,y\in\mathbb{R}. Esta é uma técnica padrão: transformar um problema complexo em condições sobre x e y.

Passo 3

Recordando a definição/expression do exponencial complexo (fórmula de Euler):
e^{x+iy}=e^{x}\,e^{iy}=e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Aqui e^{x} é o exponencial real (sempre positivo para todo x) e \cos y,\sin y são as funções trigonométricas usuais.

Passo 4

Igualando com 1, que é 1+0i, obtemos duas equações reais (parte real e parte imaginária):
e^{x}\cos y = 1, \qquad e^{x}\sin y = 0.

Passo 5

Da segunda equação \,e^{x}\sin y=0\,. Como \,e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que necessariamente
\sin y = 0.
As soluções reais de \sin y=0 são \,y = k\pi com k\in\mathbb{Z}.
Usando y=k\pi na primeira equação \,e^{x}\cos y=1, temos \cos y=\cos(k\pi)=(-1)^{k}. Logo
e^{x}(-1)^{k}=1.
Como e^{x}>0, a igualdade só pode ocorrer se (-1)^{k}>0, isto é, quando k é par. Escrevendo k=2n com n\in\mathbb{Z}, obtemos y=2n\pi e então \cos y=1. A primeira equação passa a ser e^{x}\cdot 1=1, logo e^{x}=1 e portanto
x=0.

Passo 6

Reunindo: x=0 e y=2n\pi com n\in\mathbb{Z}. Assim as soluções são
z = 0 + i(2n\pi)=2\pi i n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Uma verificação rápida: pela fórmula de Euler, e^{2\pi i n}=\cos(2\pi n)+i\sin(2\pi n)=1+0i=1.

Resposta

\;z = 2\pi i n,\\ n\in\mathbb{Z}\;

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