Resolva as seguintes equações:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
.
Informações dadas: a incógnita pode ser um número complexo (nenhuma restrição adicional foi dada).
Informações dadas: a incógnita
Passo 2
Vamos escrever
em termos das suas partes real e imaginária: seja
, com
. Esta é uma técnica padrão: transformar um problema complexo em condições sobre
e
.
Passo 3
Recordando a definição/expression do exponencial complexo (fórmula de Euler):
Aqui
é o exponencial real (sempre positivo para todo
) e
são as funções trigonométricas usuais.
Passo 4
Igualando com
, que é
, obtemos duas equações reais (parte real e parte imaginária):
Passo 5
Da segunda equação
. Como
para todo
, segue que necessariamente
As soluções reais de
são
com
.
Usando
na primeira equação
, temos
. Logo
Como
, a igualdade só pode ocorrer se
, isto é, quando
é par. Escrevendo
com
, obtemos
e então
. A primeira equação passa a ser
, logo
e portanto
Passo 6
Reunindo:
e
com
. Assim as soluções são
Uma verificação rápida: pela fórmula de Euler,
.