Resolva as seguintes equações:
\frac{2 x}{x+2}=\frac{3 x}{x+5}-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a seguinte equação racional:
\frac{2x}{x+2} = \frac{3x}{x+5} - 1.
O conteúdo aqui é “equações racionais”. Para resolver, vamos ( 1) determinar o domínio, ( 2) eliminar denominadores multiplicando por um “monômio” comum, ( 3) simplificar e resolver a equação resultante, e por fim ( 4) checar se a solução pertence ao domínio.

Passo 2

Determinamos o domínio excluindo valores que zeram os denominadores. Como aparecem x+2 e x+5 embaixo, devemos ter
x+2 \neq 0 \quad\text{e}\quad x+5 \neq 0,
ou seja
x \neq -2 \quad\text{e}\quad x \neq -5.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados de
\frac{2x}{x+2} = \frac{3x}{x+5} - 1
pelo produto (x+2)(x+5) para eliminar denominadores:
2x\,(x+5) = 3x\,(x+2) \;-\; (x+2)(x+5).
Agora expandimos cada termo:
- Lado esquerdo:
2x(x+5) = 2x^2 + 10x.
- Lado direito:
3x(x+2) - (x+2)(x+5) = (3x^2 + 6x) - (x^2 + 7x + 10) = 3x^2 + 6x - x^2 - 7x - 10 = 2x^2 - x - 10.

Passo 4

Igualando as expressões obtidas:
2x^2 + 10x = 2x^2 - x - 10.
Subtraindo 2x^2 de ambos os lados:
10x = -x - 10.
Somando x e adicionando 10 em ambos os lados:
11x = -10.
Logo
x = -\frac{10}{11}.

Passo 5

Verificamos se essa solução está no domínio permitido ( x \neq -2 e x \neq -5). Como -\tfrac{10}{11} não é nem -2 nem -5, ela é válida.

Resposta

x = -\frac{10}{11}.

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