Resolva as seguintes equações ou inequações:
2^{x}+2^{2-x}=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^{x} + 2^{2 - x} = 5.
O conteúdo envolvido é manipulação de potências de base 2 e uso de substituição para reduzir a equação a uma quadrática.

Passo 2

Usamos a propriedade
2^{2 - x} = 2^{2}\cdot 2^{-x} = 4\cdot 2^{-x}.
Logo a equação fica
2^{x} + 4\cdot 2^{-x} = 5.

Passo 3

Fazemos a substituição y = 2^{x}. Então 2^{-x} = \tfrac{1}{y} e a equação vira
y + 4\cdot \frac{1}{y} = 5.
Multiplicando por y, obtemos a quadrática
y^{2} - 5y + 4 = 0.

Passo 4

Resolvendo
y^{2} - 5y + 4 = 0
pelo discriminante \Delta = (-5)^{2} - 4\cdot1\cdot4 = 25 - 16 = 9, temos
y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2},
portanto
y = 4 \quad\text{ou}\quad y = 1.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação y = 2^{x}:
  • Se 2^{x} = 4, então x = \log_{2}(4) = 2.
  • Se 2^{x} = 1, então x = \log_{2}(1) = 0.

Resposta

As soluções da equação são x = 0 e x = 2.

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