Resolva as seguintes equações.
\ln \left(x^{2}+2 x+e^{2}\right)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\ln\bigl(x^{2}+2x+e^{2}\bigr)=2.
Aqui o conteúdo principal é equação logarítmica com a função \ln. Para resolvê-la, vamos usar a propriedade de que \ln A = B implica A = e^B, além de checar o domínio de \ln.

Passo 2

Aplicando exponenciação em ambos os lados, obtemos
x^{2}+2x+e^{2}=e^{2}.

Passo 3

Subtraindo e^{2} dos dois lados, chega-mos à equação quadrática
x^{2}+2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x+2)=0,
cuja solução é
x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 4

Precisamos garantir que o argumento do \ln seja positivo:
x^{2}+2x+e^{2}>0.
Para x=0 o valor é e^{2}>0 e para x=-2 também é e^{2}>0. Logo, ambas as raízes são válidas.

Resposta

x=0 ou x=-2

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