Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{4}+16=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{4} + 16 = 0.
O conteúdo usado será representação polar de números complexos e o Teorema de De Moivre para extrair raízes de ordem 4.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
z^{4} = -16.
No plano complexo, -16 tem módulo 16 e argumento \pi (mais múltiplos de 2\pi), ou seja
-16 = 16\,e^{i(\pi + 2\pi m)},\quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para extrair a quarta‐raiz, usamos a fórmula: se w = r\,e^{i\theta} então
z = r^{1/4}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/4},\quad k=0,1,2,3.
Aqui r=16 e \theta = \pi, logo
z_{k} = 16^{1/4}\,e^{i(\pi + 2\pi k)/4} = 2\,e^{i\bigl(\pi/4 + k\pi/2\bigr)}, \quad k=0,1,2,3.

Passo 4

Basta tomar k=0,1,2,3 e converter para a forma x+iy:
\begin{aligned} k=0: &\quad z_{0} = 2e^{i\pi/4} = 2\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2} + i\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = \sqrt2 + i\sqrt2,\\\ k=1: &\quad z_{1} = 2e^{i3\pi/4} = 2\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2} + i\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = -\sqrt2 + i\sqrt2,\\\ k=2: &\quad z_{2} = 2e^{i5\pi/4} = 2\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2} - i\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = -\sqrt2 - i\sqrt2,\\\ k=3: &\quad z_{3} = 2e^{i7\pi/4} = 2\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2} - i\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = \sqrt2 - i\sqrt2. \end{aligned}

Resposta

z \in \bigl\{\sqrt2 + i\sqrt2,\;-\,\sqrt2 + i\sqrt2,\;-\,\sqrt2 - i\sqrt2,\;\sqrt2 - i\sqrt2\bigr\}.

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