Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{4}+4=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{4} + 4 = 0.
O conteúdo que vamos usar é a forma trigonométrica (polar) dos números complexos para extrair raízes de um número na forma re^{i\theta}.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
z^{4} = -4.
Em forma polar, -4 pode ser escrito como
-4 = 4 e^{i(\pi + 2\pi k)},\quad k\in\mathbb{Z},
pois o módulo é 4 e o argumento principal de -4 é \pi, podendo adicionar 2\pi k.

Passo 3

Seja z = r e^{i\theta}. Então
z^4 = r^4 e^{i4\theta} = 4 e^{i(\pi + 2\pi k)}.
Igualando módulos e argumentos, temos
r^4 = 4 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2},
e
4\theta = \pi + 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.

Passo 4

Para k=0,1,2,3 obtemos os quatro ângulos:
\theta_0 = \frac{\pi}{4},\quad \theta_1 = \frac{3\pi}{4},\quad \theta_2 = \frac{5\pi}{4},\quad \theta_3 = \frac{7\pi}{4}.
Logo as soluções são
z_k = \sqrt{2}\,e^{i\theta_k} =\sqrt{2}\bigl(\cos\theta_k + i\sin\theta_k\bigr).
Convertendo para a forma a+bi, isso dá:
z_0 = 1 + i,\quad z_1 = -1 + i,\quad z_2 = -1 - i,\quad z_3 = 1 - i.

Resposta

\;z = 1 + i,\; -1 + i,\; -1 - i,\; 1 - i.

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