Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=(1+x) e^{3 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+y=(1+x)e^{3x}.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (não foram dadas condições iniciais).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear e de ordem dois.
  • Os coeficientes da parte homogênea são constantes: -3 e 1.
  • O termo não-homogêneo é o produto de um polinômio de grau 1 (o termo 1+x) por uma exponencial e^{3x}.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevemos a equação homogênea:
y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, busca-se soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica:
r^2-3r+1=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para a equação r^2-3r+1=0 tem-se:
r=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}.
Chamando as raízes de
r_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\qquad r_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2},
a solução geral da homogênea (com constantes arbitrárias C_1,C_2) é
y_c(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.

Passo 3

Escolha do formato da solução particular (ideia do método de coeficientes indeterminados).
Regra prática: quando o termo não-homogêneo é um polinômio em x multiplicado por e^{\alpha x}, tenta-se uma solução particular do tipo (polinômio de mesmo grau) \times e^{\alpha x}, exceto se \alpha for raiz da equação característica; nesse caso multiplica-se por x^m onde m é a multiplicidade de \alpha como raiz.
No nosso problema o termo não-homogêneo é (1+x)e^{3x}. O polinômio tem grau 1 e \alpha=3.
Verificamos se r=3 é raiz da característica:
r^2-3r+1\Big|_{r=3}=3^2-3\cdot3+1=9-9+1=1\neq0.
Como 3 não é raiz, não há ressonância e podemos tomar a ansatz (chute) para a solução particular na forma
y_p(x)=(Ax+B)e^{3x},
onde A e B são coeficientes indeterminados que vamos determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p. Para organizar, defina u(x)=Ax+B de modo que y_p=u\cdot e^{3x}.
Aplicando a regra do produto e a derivada da exponencial:
u'(x)=A.
Logo
y_p'=u' e^{3x}+3u e^{3x}=(A+3(Ax+B))e^{3x}=(3A x+(3B+A))e^{3x}.
Derivando novamente (novamente produto e exponencial): seja v(x)=3A x+(3B+A), então v'(x)=3A e
y_p''=v' e^{3x}+3v e^{3x}=(3A+3(3A x+(3B+A)))e^{3x}.
Simplificando o termo entre parênteses:
3A+9A x+9B+3A=9A x+(9B+6A),
portanto
y_p''=(9A x+(9B+6A))e^{3x}.

Passo 5

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e igualar ao lado direito.
Escrevendo o operador linear aplicado a y_p:
y_p''-3y_p'+y_p=\bigl(9A x+(9B+6A)\bigr)e^{3x}-3\bigl(3A x+(3B+A)\bigr)e^{3x}+(Ax+B)e^{3x}.
Fatorando e^{3x}:
y_p''-3y_p'+y_p=\Bigl(9A x+(9B+6A)-9A x-(9B+3A)+Ax+B\Bigr)e^{3x}.
Agora simplificamos os termos dentro do parêntese agrupando coeficientes de x e termos constantes:
  • Coeficiente de x: 9A-9A+A=A.
  • Termo constante: 9B+6A-(9B+3A)+B=(9B-9B+B)+(6A-3A)=B+3A.
Portanto
y_p''-3y_p'+y_p=(A x+(B+3A))e^{3x}.

Passo 6

Igualar o resultado ao lado direito (1+x)e^{3x}. Como e^{3x} é comum, comparamos coeficientes dos polinômios em x:
A x+(B+3A)=x+1.
Igualando coeficientes de x e termos constantes obtém-se o sistema:
A=1,
B+3A=1.
Substituindo A=1 na segunda equação:
B+3\cdot1=1\quad\Rightarrow\quad B+3=1\quad\Rightarrow\quad B=-2.
Assim a solução particular é
y_p(x)=(x-2)e^{3x}.

Passo 7

Escrever a solução geral somando a solução homogênea e a particular. A solução geral da equação original é
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_1 e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}x}+C_2 e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}+(x-2)e^{3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houverem).

Resposta

y(x)=C_1 e^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}x}+C_2 e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}+(x-2)e^{3x}

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