a solução geral da homogênea (com constantes arbitrárias C_1,C_2) é
y_c(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Passo 3
Escolha do formato da solução particular (ideia do método de coeficientes indeterminados).
Regra prática: quando o termo não-homogêneo é um polinômio em x multiplicado por e^{\alpha x}, tenta-se uma solução particular do tipo (polinômio de mesmo grau) \times e^{\alpha x}, exceto se \alpha for raiz da equação característica; nesse caso multiplica-se por x^m onde m é a multiplicidade de \alpha como raiz.
No nosso problema o termo não-homogêneo é (1+x)e^{3x}. O polinômio tem grau 1 e \alpha=3.
Verificamos se r=3 é raiz da característica:
r^2-3r+1\Big|_{r=3}=3^2-3\cdot3+1=9-9+1=1\neq0.
Como 3 não é raiz, não há ressonância e podemos tomar a ansatz (chute) para a solução particular na forma
y_p(x)=(Ax+B)e^{3x},
onde A e B são coeficientes indeterminados que vamos determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas de y_p. Para organizar, defina u(x)=Ax+B de modo que y_p=u\cdot e^{3x}.
Aplicando a regra do produto e a derivada da exponencial: