Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = \cos(x).
Informações dadas:
  • Equação linear não homogênea de segunda ordem.
  • Termo independente (forçamento) é \cos(x).
  • É solicitado usar o método dos coeficientes indeterminados (ou seja, buscar uma solução particular com forma assumida e ajustar coeficientes).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com lado direito igual a zero):
y'' - 2y' - 3y = 0.
Para isso usamos a equação característica: substitui-se y=e^{rx} e obtém-se
r^{2}-2r-3=0.
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatorando):
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
logo as raízes são r=3 e r=-1. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Breve explicação: cada raiz r dá termo e^{rx}; para raízes múltiplas aparece fator x, mas aqui não é o caso.)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. O método dos coeficientes indeterminados recomenda escolher uma forma para y_{p} semelhante ao forçamento \cos(x). Para um forçamento \cos(x) (ou \sin(x)) a escolha usual é combinar cosseno e seno:
y_{p}(x)=A\cos(x)+B\sin(x),
onde A e B são coeficientes a determinar. Antes de usar essa forma, verificamos se há ressonância com a solução homogênea: ressonância ocorreria se e^{ix} (ou equivalentes) fossem soluções da homogênea, isto é, se r=\pm i fossem raízes da característica. A característica tem raízes 3 e -1, que não são \pm i, portanto não há ressonância e a forma escolhida é válida.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} e substituímos na equação para determinar A e B.
Derivadas:
y_{p}'(x)=-A\sin(x)+B\cos(x),
y_{p}''(x)=-A\cos(x)-B\sin(x).
Substituindo em \,y''-2y'-3y=\cos(x)\,:
\bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr) -2\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) -3\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr)=\cos x.

Passo 5

Agrupamos os termos em \cos x e \sin x. Coeficiente de \cos x:
(-A)\;+\;(-2B)\;+\;(-3A)= -4A-2B.
Coeficiente de \sin x:
(-B)\;+\;(2A)\;+\;(-3B)=2A-4B.
Portanto a igualdade força o sistema (igualando os coeficientes à direita, onde o termo em \cos x vale 1 e o termo em \sin x vale 0):
\begin{cases} -4A - 2B = 1,\\[4pt] 2A - 4B = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvemos o sistema para A e B.
Da segunda equação:
2A - 4B = 0 \quad\Rightarrow\quad 2A = 4B \quad\Rightarrow\quad A = 2B.
Substituindo na primeira:
-4(2B) -2B = 1 \quad\Rightarrow\quad -8B-2B = 1 \quad\Rightarrow\quad -10B = 1.
Logo
B = -\dfrac{1}{10},\qquad A = 2B = -\dfrac{1}{5}.

Passo 7

Assim a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=-\dfrac{1}{5}\cos x - \dfrac{1}{10}\sin x.
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}-\dfrac{1}{5}\cos x - \dfrac{1}{10}\sin x.

Passo 8

(Pequena verificação) Se desejar verificar, pode-se derivar y_{p} e substituir na equação para checar que produz exatamente \cos x; os cálculos já feitos nos passos anteriores garantem isso porque os coeficientes A,B foram escolhidos para satisfazer a igualdade.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}-\dfrac{1}{5}\cos x-\dfrac{1}{10}\sin x

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