Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações dadas:
- Equação linear não homogênea de segunda ordem.
- Termo independente (forçamento) é
. - É solicitado usar o método dos coeficientes indeterminados (ou seja, buscar uma solução particular com forma assumida e ajustar coeficientes).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com lado direito igual a zero):
Para isso usamos a equação característica: substitui-se
e obtém-se
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara ou fatorando):
logo as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve explicação: cada raiz
dá termo
; para raízes múltiplas aparece fator
, mas aqui não é o caso.)
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O método dos coeficientes indeterminados recomenda escolher uma forma para
semelhante ao forçamento
. Para um forçamento
(ou
) a escolha usual é combinar cosseno e seno:
onde
e
são coeficientes a determinar. Antes de usar essa forma, verificamos se há ressonância com a solução homogênea: ressonância ocorreria se
(ou equivalentes) fossem soluções da homogênea, isto é, se
fossem raízes da característica. A característica tem raízes
e
, que não são
, portanto não há ressonância e a forma escolhida é válida.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação para determinar
e
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Passo 5
Agrupamos os termos em
e
. Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto a igualdade força o sistema (igualando os coeficientes à direita, onde o termo em
vale
e o termo em
vale
):
Passo 6
Resolvemos o sistema para
e
.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Logo
Passo 7
Assim a solução particular encontrada é
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
Passo 8
(Pequena verificação) Se desejar verificar, pode-se derivar
e substituir na equação para checar que produz exatamente
; os cálculos já feitos nos passos anteriores garantem isso porque os coeficientes
foram escolhidos para satisfazer a igualdade.