Resolva as seguintes equações modulares, encontrando o conjunto solução (todos os valores reais de \mathbf{x} ): \left|x^{2}-5 x\right|=6
Passo 1
O enunciado dá a equação com valor absoluto
\left|x^{2}-5x\right|=6
e pede: encontrar o conjunto de todas as soluções reais x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-5x.
O lado direito é 6, um número não negativo, então soluções reais podem existir.
Precisamos listar todos os x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira a igualdade.
Passo 2
Ideia e propriedade que vamos usar (explicação didática do conceito):
Para qualquer número real A e qualquer b\ge 0, a equação \left|A\right|=b é equivalente ao sistema de duas equações
A=b\quad\text{ou}\quad A=-b.
Isto acontece porque o valor absoluto tira o sinal de A: se \left|A\right|=b então A pode ser b (positivo) ou -b (negativo), e todos os casos possíveis estão nessas duas equações.
Aplicando isso ao nosso problema, com A=x^{2}-5x e b=6, obtemos as duas equações a resolver:
x^{2}-5x=6
ou
x^{2}-5x=-6.
Passo 3
Resolver a primeira equação \,x^{2}-5x=6.
Passos para resolver essa quadrática (método por fatoração):
Primeiro trazemos tudo para o lado esquerdo para obter a forma padrão x^{2}-5x-6=0.
x^{2}-5x-6=0
Para fatorar, procuramos dois números cujo produto seja -6 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente de x). Esses números são -6 e +1, pois (-6)\cdot(1)=-6 e (-6)+1=-5.
Logo a fatoração é
x^{2}-5x-6=(x-6)(x+1).
Assim as soluções dessa equação quadrática são as raízes dos fatores:
x-6=0\quad\Rightarrow\quad x=6,
x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Passo 4
Verificação das soluções x=6 e x=-1 na equação original (bom hábito na prova):
Para x=6: calcular x^{2}-5x=6^{2}-5\cdot6=36-30=6. Então \left|x^{2}-5x\right|=\left|6\right|=6, que satisfaz a equação.
Para x=-1: calcular x^{2}-5x=(-1)^{2}-5(-1)=1+5=6. Então \left|x^{2}-5x\right|=\left|6\right|=6, que também satisfaz.
Passo 5
Resolver a segunda equação \,x^{2}-5x=-6.
Novamente colocamos em forma padrão e fatoramos:
Colocar tudo no mesmo lado:
x^{2}-5x+6=0.
Procuramos dois números cujo produto seja +6 e soma seja -5. Esses números são -2 e -3, pois (-2)(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5.
Então
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
As raízes são:
x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=2,
x-3=0\quad\Rightarrow\quad x=3.
Passo 6
Verificação das soluções x=2 e x=3 na equação original:
Para x=2: x^{2}-5x=2^{2}-5\cdot2=4-10=-6. Então \left|x^{2}-5x\right|=\left|-6\right|=6, satisfaz.
Para x=3: x^{2}-5x=3^{2}-5\cdot3=9-15=-6. Então \left|x^{2}-5x\right|=\left|-6\right|=6, satisfaz.
Passo 7
Conclusão: todas as soluções encontradas (x=-1,\,2,\,3,\,6) satisfazem a equação original. O conjunto solução é formado por esses quatro números.