Resolva as seguintes equações modulares, encontrando o conjunto solução (todos os valores reais de \mathbf{x} ):
|x-2|=|2 x-7|

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação modular e encontrar todos os valores reais de x que satisfazem
|x-2| = |2x-7|.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e o domínio é \mathbb{R}.
  • Temos uma igualdade entre dois valores absolutos, ou seja, queremos todos os x\in\mathbb{R} que tornam iguais as distâncias de x a dois pontos lineares diferentes.

Passo 2

Vamos lembrar o que é valor absoluto e uma propriedade útil. Para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Uma propriedade prática e muito usada é:
|a| = |b| \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 = b^2.
Justificativa curta: como |a|^2 = a^2\] e \(|b|^2 = b^2, igualar os módulos é o mesmo que igualar os quadrados; daí
a^2-b^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (a-b)(a+b)=0,
ou seja, a=b ou a=-b. Essa transformação reduz uma equação com módulos a duas equações lineares, que são mais fáceis de resolver na prova.]

Passo 3

Aplicando a propriedade acima com a=x-2 e b=2x-7, obtemos as duas possibilidades
x-2 = 2x-7
ou
x-2 = -(2x-7).

Passo 4

Resolver a primeira possibilidade:
x-2 = 2x-7.
Subtrair x de ambos os lados:
-2 = x-7.
Somar 7 em ambos os lados:
5 = x.
Portanto uma solução candidata é x=5.

Passo 5

Resolver a segunda possibilidade:
x-2 = -(2x-7) = -2x+7.
Somar 2x em ambos os lados:
3x-2 = 7.
Somar 2 em ambos os lados:
3x = 9.
Dividir por 3:
x = 3.
Portanto a outra solução candidata é x=3.

Passo 6

Conferir (verificação rápida) para evitar equívocos:
  • Para x=5: |5-2|=|3|=3 e |2\cdot5-7|=|10-7|=|3|=3. Igualdade satisfeita.
  • Para x=3: |3-2|=|1|=1 e |2\cdot3-7|=|6-7|=|-1|=1. Igualdade satisfeita.
Ambos passam na verificação, então são soluções válidas.

Passo 7

Conclusão: o conjunto solução é formado pelos dois valores encontrados, x=3 e x=5. Dica rápida para a prova: sempre que vir |A|=|B| lembre que você pode reduzir a A=B ou A=-B — é quase sempre o caminho mais curto e seguro.

Resposta

\{3,5\}

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