Resolva as seguintes equações modulares, encontrando o conjunto solução (todos os valores reais de
):
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação modular e encontrar todos os valores reais de
que satisfazem
Informações dadas:
- A incógnita é
e o domínio é . - Temos uma igualdade entre dois valores absolutos, ou seja, queremos todos os
que tornam iguais as distâncias de a dois pontos lineares diferentes.
Passo 2
Vamos lembrar o que é valor absoluto e uma propriedade útil. Para qualquer número real
Uma propriedade prática e muito usada é:
Justificativa curta: como
, igualar os módulos é o mesmo que igualar os quadrados; daí
ou seja,
ou
. Essa transformação reduz uma equação com módulos a duas equações lineares, que são mais fáceis de resolver na prova.]
Passo 3
Aplicando a propriedade acima com
e
, obtemos as duas possibilidades
ou
Passo 4
Resolver a primeira possibilidade:
Subtrair
de ambos os lados:
Somar
em ambos os lados:
Portanto uma solução candidata é
.
Passo 5
Resolver a segunda possibilidade:
Somar
em ambos os lados:
Somar
em ambos os lados:
Dividir por
:
Portanto a outra solução candidata é
.
Passo 6
Conferir (verificação rápida) para evitar equívocos:
- Para
: e . Igualdade satisfeita. - Para
: e . Igualdade satisfeita.
Ambos passam na verificação, então são soluções válidas.
Passo 7
Conclusão: o conjunto solução é formado pelos dois valores encontrados,
e
. Dica rápida para a prova: sempre que vir
lembre que você pode reduzir a
ou
— é quase sempre o caminho mais curto e seguro.