Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
\log _{5}(\sqrt{5})

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o valor numérico exato da expressão \log_{5}(\sqrt{5}). A única informação dada é a própria expressão. O objetivo é transformar essa expressão usando propriedades dos logaritmos para obter um número exato, sem usar calculadora.

Passo 2

Lembrete básico: a definição de logaritmo diz que
\log_{b}(a)=x \quad\Longleftrightarrow\quad b^{x}=a.
Isso significa que \log_{b}(a) é o expoente que devemos dar à base b para obter a. Exemplo rápido: \log_{2}(8)=3 porque 2^{3}=8.

Passo 3

Identificar a parte dentro do logaritmo. Aqui temos \sqrt{5}. Podemos escrever raízes como potências fracionárias:
\sqrt{5}=5^{1/2}.
Essa é uma regra de potências: a raiz quadrada é a potência de expoente 1/2.

Passo 4

Usar a propriedade operatória dos logaritmos que relaciona logaritmo e potência:
\log_{b}\big(a^{r}\big)=r\cdot\log_{b}(a).
Uma breve justificativa dessa propriedade: se \log_{b}(a)=y então a=b^{y}. Então a^{r}=(b^{y})^{r}=b^{ry}. Aplicando a definição do logaritmo, \log_{b}(a^{r})=ry=r\log_{b}(a).

Passo 5

Aplicar a propriedade ao nosso caso:
\log_{5}(\sqrt{5})=\log_{5}\big(5^{1/2}\big)=\frac{1}{2}\,\log_{5}(5).
Agora usar que qualquer logaritmo da base pela própria base vale 1:
\log_{5}(5)=1,
pois 5^{1}=5. Portanto
\log_{5}(\sqrt{5})=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa rápida (pela definição): procurar x tal que 5^{x}=\sqrt{5}=5^{1/2}. Igualando expoentes dá x=\tfrac{1}{2}, consistente com o resultado anterior.

Resposta

\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados