Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule o valor numérico exato das expressões abaixo sem recorrer à calculadora:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o valor numérico exato da expressão
. A única informação dada é a própria expressão. O objetivo é transformar essa expressão usando propriedades dos logaritmos para obter um número exato, sem usar calculadora.
Passo 2
Lembrete básico: a definição de logaritmo diz que
Isso significa que
é o expoente que devemos dar à base
para obter
. Exemplo rápido:
porque
.
Passo 3
Identificar a parte dentro do logaritmo. Aqui temos
. Podemos escrever raízes como potências fracionárias:
Essa é uma regra de potências: a raiz quadrada é a potência de expoente
.
Passo 4
Usar a propriedade operatória dos logaritmos que relaciona logaritmo e potência:
Uma breve justificativa dessa propriedade: se
então
. Então
. Aplicando a definição do logaritmo,
.
Passo 5
Aplicar a propriedade ao nosso caso:
Agora usar que qualquer logaritmo da base pela própria base vale
:
pois
. Portanto
Passo 6
Verificação alternativa rápida (pela definição): procurar
tal que
. Igualando expoentes dá
, consistente com o resultado anterior.