Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior dada. Informações fornecidas pelo enunciado:
Objetivo final: encontrar a solução geral que satisfaça essa equação linear homogênea com coeficientes constantes.
Objetivo final: encontrar a solução geral
Passo 2
Estratégia padrão (sem ainda justificar teoricamente): tentar uma solução da forma
. Por que isso? Porque derivadas de
são fáceis: cada derivada traz um fator
, então substituindo em uma equação linear com coeficientes constantes obtemos um polinômio em
(o chamado polinômio característico). Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obtém-se o polinômio característico:
Passo 4
Precisamos resolver o polinômio
Testamos raízes simples: verifique
:
Logo
é raiz. Vamos dividir o polinômio por
. Fazendo divisão (síntese) com coeficientes
e
, obtemos quociente com coeficientes
, ou seja:
Passo 5
Agora fatoramos o cubo
por agrupamento:
E
é diferença de quadrados:
Portanto o polinômio característico fatora completamente como
Passo 6
Das fatorações concluímos as raízes e suas multiplicidades:
-
é raiz de multiplicidade . -
é raiz simples (multiplicidade ).
Passo 7
Teoria necessária (explicação didática): para uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, cada raiz real
do polinômio característico gera uma solução básica
. Se uma raiz
tem multiplicidade
, então as
soluções independentes associadas são
Essas funções são linearmente independentes e, juntando-as para todas as raízes (reais e complexas), obtemos uma base do espaço das soluções, cujo número de constantes livres iguala a ordem da equação (aqui
).
Passo 8
Aplicando a regra ao nosso caso:
- Da raiz
(multiplicidade ) obtemos as soluções
- Da raiz
(multiplicidade ) obtemos
A solução geral é combinação linear dessas quatro soluções independentes:
onde
são constantes arbitrárias (reais, se procuramos soluções reais).
Passo 9
Breve verificação e comentário final: a solução tem quatro constantes arbitrárias, compatível com o fato de a equação ser de ordem
. Se quiser, pode verificar diferenciando
e substituindo na equação original; cada termo
e
satisfazirá a equação por construção via polinômio característico.