Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior dada. Informações fornecidas pelo enunciado:
y^{(4)} - 2 y^{\prime\prime\prime} + 2 y^{\prime} - y = 0.
Objetivo final: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 2

Estratégia padrão (sem ainda justificar teoricamente): tentar uma solução da forma y(x)=e^{r x}. Por que isso? Porque derivadas de e^{r x} são fáceis: cada derivada traz um fator r, então substituindo em uma equação linear com coeficientes constantes obtemos um polinômio em r (o chamado polinômio característico). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule as derivadas de y(x)=e^{r x}:
y' = r e^{r x},\quad y'' = r^2 e^{r x},\quad y^{(3)} = r^3 e^{r x},\quad y^{(4)} = r^4 e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial:
r^4 e^{r x} - 2 r^3 e^{r x} + 2 r e^{r x} - 1\cdot e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obtém-se o polinômio característico:
r^4 - 2 r^3 + 2 r - 1 = 0.

Passo 4

Precisamos resolver o polinômio
r^4 - 2 r^3 + 0\cdot r^2 + 2 r - 1 = 0.
Testamos raízes simples: verifique r=1:
1^4 - 2\cdot1^3 + 2\cdot1 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0.
Logo r=1 é raiz. Vamos dividir o polinômio por (r-1). Fazendo divisão (síntese) com coeficientes 1,\,-2,\,0,\,2,\,-1 e r=1, obtemos quociente com coeficientes 1,\,-1,\,-1,\,1, ou seja:
r^4 - 2 r^3 + 2 r - 1 = (r-1)\big(r^3 - r^2 - r + 1\big).

Passo 5

Agora fatoramos o cubo r^3 - r^2 - r + 1 por agrupamento:
r^3 - r^2 - r + 1 = r^2(r-1) -1(r-1) = (r-1)(r^2 - 1).
E r^2-1 é diferença de quadrados:
r^2 - 1 = (r-1)(r+1).
Portanto o polinômio característico fatora completamente como
r^4 - 2 r^3 + 2 r - 1 = (r-1)\,(r-1)\,(r-1)\,(r+1) = (r-1)^3 (r+1).

Passo 6

Das fatorações concluímos as raízes e suas multiplicidades:
  • r=1 é raiz de multiplicidade 3.
  • r=-1 é raiz simples (multiplicidade 1).

Passo 7

Teoria necessária (explicação didática): para uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, cada raiz real r do polinômio característico gera uma solução básica e^{r x}. Se uma raiz r tem multiplicidade m, então as m soluções independentes associadas são
e^{r x},\quad x e^{r x},\quad x^2 e^{r x},\\ \dots,\\ x^{m-1} e^{r x}.
Essas funções são linearmente independentes e, juntando-as para todas as raízes (reais e complexas), obtemos uma base do espaço das soluções, cujo número de constantes livres iguala a ordem da equação (aqui 4).

Passo 8

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Da raiz r=1 (multiplicidade 3) obtemos as soluções
e^{x},\quad x e^{x},\quad x^{2} e^{x}.
  • Da raiz r=-1 (multiplicidade 1) obtemos
e^{-x}.
A solução geral é combinação linear dessas quatro soluções independentes:
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + C_{3} x^{2} e^{x} + C_{4} e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias (reais, se procuramos soluções reais).

Passo 9

Breve verificação e comentário final: a solução tem quatro constantes arbitrárias, compatível com o fato de a equação ser de ordem 4. Se quiser, pode verificar diferenciando y(x) e substituindo na equação original; cada termo x^k e^{x} e e^{-x} satisfazirá a equação por construção via polinômio característico.

Resposta

y(x)=C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + C_{3} x^{2} e^{x} + C_{4} e^{-x}

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