Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Ou seja, encontrar a solução geral
que satisfaça essa relação para todas as
. Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Ideia básica do método (explicação didática): normalmente, para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, tentamos uma solução do tipo
onde
é um número (em geral complexo) que vamos determinar. Por que isso funciona? Porque a derivada de
é proporcional a
:
Substituindo essas expressões na equação diferencial faz com que
se cancele (é nunca nulo), restando uma equação algébrica para
. Essa equação algébrica chama-se equação característica.
Passo 3
Aplicando a tentativa
na equação dada, obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação algébrica para
. Observação útil de fatoração:
pode ser fatorado como diferença de cubos:
Portanto as raízes são a solução de
ou de
. Da primeira obtemos imediatamente
Da segunda (uma quadrática), usamos a fórmula de Bhaskara. Para
temos discriminante
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Resumindo as três raízes:
Passo 4
Como cada raiz
da equação característica fornece uma solução fundamental
, uma combinação linear desses exponenciais dá a solução geral complexa:
onde
são constantes (em geral complexas). Contudo, queremos uma solução real (presumindo função real). Quando as raízes aparecem em conjugado complexo
, as combinações lineares adequadas geram duas soluções reais independentes:
Tomando combinações lineares reais de
e
obtemos as soluções reais
No nosso caso, para
temos
e
. Portanto duas soluções reais correspondentes são
Passo 5
Concluímos que um conjunto de três soluções linearmente independentes reais é
Logo a solução geral real da equação diferencial é a combinação linear dessas três soluções com constantes reais
:
onde
. Aqui
corresponde à constante associada à raiz real
e
surgem ao reescrever as constantes complexas das raízes conjugadas em combinações reais.
Resposta
com
.