Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{\prime \prime \prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y=0.
Ou seja, encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa relação para todas as x. Informações relevantes fornecidas:
\text{a equação é de ordem }3,\quad\text{homogênea},\quad\text{com coeficientes constantes.}çãéê

Passo 2

Ideia básica do método (explicação didática): normalmente, para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, tentamos uma solução do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (em geral complexo) que vamos determinar. Por que isso funciona? Porque a derivada de e^{rx} é proporcional a e^{rx}:
\frac{d}{dx}e^{rx}=r e^{rx},\quad \frac{d^2}{dx^2}e^{rx}=r^2 e^{rx},\quad \frac{d^3}{dx^3}e^{rx}=r^3 e^{rx}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial faz com que e^{rx} se cancele (é nunca nulo), restando uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica chama-se equação característica.

Passo 3

Aplicando a tentativa y=e^{rx} na equação dada, obtemos a equação característica
r^3-1=0.
Agora resolvemos essa equação algébrica para r. Observação útil de fatoração: r^3-1 pode ser fatorado como diferença de cubos:
r^3-1=(r-1)(r^2+r+1).
Portanto as raízes são a solução de r-1=0 ou de r^2+r+1=0. Da primeira obtemos imediatamente
r_1=1.
Da segunda (uma quadrática), usamos a fórmula de Bhaskara. Para r^2+r+1=0 temos discriminante
\Delta = 1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Resumindo as três raízes:
r_1=1,\qquad r_2=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad r_3=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Como cada raiz r da equação característica fornece uma solução fundamental e^{rx}, uma combinação linear desses exponenciais dá a solução geral complexa:
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes (em geral complexas). Contudo, queremos uma solução real (presumindo função real). Quando as raízes aparecem em conjugado complexo a\pm ib, as combinações lineares adequadas geram duas soluções reais independentes:
e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx)).
Tomando combinações lineares reais de e^{(a+ib)x} e e^{(a-ib)x} obtemos as soluções reais
e^{ax}\cos(bx)\quad\text{e}\quad e^{ax}\sin(bx).
No nosso caso, para r_{2,3}=-\tfrac{1}{2}\pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2} temos a=-\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto duas soluções reais correspondentes são
e^{-x/2}\cos\!\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\Big) \quad\text{e}\quad e^{-x/2}\sin\!\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\Big).

Passo 5

Concluímos que um conjunto de três soluções linearmente independentes reais é
e^{x},\qquad e^{-x/2}\cos\!\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\Big),\qquad e^{-x/2}\sin\!\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\Big).
Logo a solução geral real da equação diferencial é a combinação linear dessas três soluções com constantes reais A,B,C:
y(x)=A e^{x}+e^{-x/2}\Big(B\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big),
onde A,B,C\in\mathbb{R}. Aqui A corresponde à constante associada à raiz real r_1=1 e B,C surgem ao reescrever as constantes complexas das raízes conjugadas em combinações reais.

Resposta

y(x)=A e^{x}+e^{-x/2}\Big(B\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big),
com A,B,C\in\mathbb{R}.

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