Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{\prime \prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de ordem superior
y^{\prime\prime\prime}+y=0.
Informações dadas:
\text{equação homogênea, de ordem }3,\text{ com coeficientes constantes;}çãê
não foram fornecidas condições iniciais (logo a solução geral deve conter três constantes arbitrárias).

Passo 2

Vamos escolher um método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: assumir uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (real ou complexo) a determinar. Essa escolha é natural porque derivadas de e^{r x} permanecem proporcionais a e^{r x}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Substituindo y=e^{r x} na equação obtemos a equação característica.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} na equação \,y^{\prime\prime\prime}+y=0, temos
r^3 e^{r x} + e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica
r^3+1=0.

Passo 4

Resolvemos a equação polinomial \,r^3+1=0. Usando a identidade de soma de cubos,
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
com a=r e b=1, fatoramos:
r^3+1=(r+1)(r^2-r+1).
Daí os zeros são dados por r=-1 (do fator linear) e pelas raízes da quadrática r^2-r+1=0. Usando a fórmula quadrática para ar^2+br+c=0,
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
com a=1, b=-1, c=1, obtemos o discriminante
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.
Como \Delta=-3<0, as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Portanto as três raízes são
r_1=-1,\qquad r_{2,3}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Agora transformamos essas raízes em termos da solução geral da equação diferencial. Regras importantes (explicação didática):
  • Cada raiz real r da equação característica gera um termo C e^{r x} na solução geral, onde C é constante arbitrária.
  • Uma conjugada complexa a\pm i b gera, em vez de termos complexos, dois termos reais combinados da forma e^{a x}\big(C_2\cos(bx)+C_3\sin(bx)\big). Isso vem da fórmula de Euler:
e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx)),
e de que combinações lineares das duas exponenciais complexas produzem as partes real e imaginária que são e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx).
Aplicando aqui: para r_1=-1 temos o termo C_1 e^{-x}. Para r_{2,3}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2} temos a=\frac{1}{2} e b=\frac{\sqrt{3}}{2}, gerando o termo
e^{\frac{x}{2}}\big(C_2\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_3\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big).
Aqui C_1,C_2,C_3 são constantes reais arbitrárias (uma para cada grau da equação).

Passo 6

Juntando os termos, a solução geral da equação diferencial é
y(x)=C_1 e^{-x} + e^{\frac{x}{2}}\Big(C_2\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_3\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais arbitrárias. Observação: isso fornece exatamente três constantes, como esperado para uma equação de ordem \,3.

Resposta

y(x)=C_1 e^{-x} + e^{\frac{x}{2}}\Big(C_2\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_3\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big)

Exercícios relacionados