Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de ordem superior
Informações dadas:
não foram fornecidas condições iniciais (logo a solução geral deve conter três constantes arbitrárias).
Passo 2
Vamos escolher um método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: assumir uma solução da forma
onde
é um número (real ou complexo) a determinar. Essa escolha é natural porque derivadas de
permanecem proporcionais a
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Substituindo
na equação obtemos a equação característica.
Passo 3
Substituindo
na equação
, temos
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 4
Resolvemos a equação polinomial
. Usando a identidade de soma de cubos,
com
e
, fatoramos:
Daí os zeros são dados por
(do fator linear) e pelas raízes da quadrática
. Usando a fórmula quadrática para
,
com
,
,
, obtemos o discriminante
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Portanto as três raízes são
Passo 5
Agora transformamos essas raízes em termos da solução geral da equação diferencial. Regras importantes (explicação didática):
- Cada raiz real
da equação característica gera um termo na solução geral, onde é constante arbitrária. - Uma conjugada complexa
gera, em vez de termos complexos, dois termos reais combinados da forma . Isso vem da fórmula de Euler:
e de que combinações lineares das duas exponenciais complexas produzem as partes real e imaginária que são
e
.
Aplicando aqui: para
temos o termo
. Para
temos
e
, gerando o termo
Aqui
são constantes reais arbitrárias (uma para cada grau da equação).
Passo 6
Juntando os termos, a solução geral da equação diferencial é
onde
são constantes reais arbitrárias. Observação: isso fornece exatamente três constantes, como esperado para uma equação de ordem
.